Numero irrazionale

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In matematica, un numero irrazionale è un numero reale che non è un numero razionale, cioè non può essere scritto come una frazione a / b con a e b interi, con b diverso da zero. L'introduzione di questi numeri nel panorama matematico è iniziata con la scoperta da parte dei greci delle grandezze incommensurabili, ossia prive di un sottomultiplo comune. I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espansione in qualunque base (decimale, binaria, ecc) non termina mai e non forma una sequenza periodica. "Quasi tutti" i numeri reali sono irrazionali, in un senso che è definito più precisamente nel seguito.

Alcuni numeri irrazionali sono numeri algebrici come (la radice quadrata di due) e (la radice cubica di 5); altri sono numeri trascendenti come π ed e.

Indice 1 Cenni storici 2 Irrazionalità della radice quadrata di 2 2.1 Dimostrazione alternativa 3 Irrazionalità di alcuni logaritmi 4 Altri numeri irrazionali 5 Numeri irrazionali ed espansioni decimali 6 Numeri di cui non è accertata l'irrazionalità 7 L'insieme di tutti i numeri irrazionali

[modifica] Cenni storici

La scoperta dei numeri irrazionali viene tradizionalmente attribuita a Pitagora, o più precisamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che produsse una argomentazione (probabilmente con considerazioni geometriche) dell'irrazionalità della radice quadrata di 2. Secondo la tradizione Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre tentava di rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione (vedi la dimostrazione sotto). Tuttavia Pitagora credeva nell'assolutezza dei numeri, e non poteva accettare l'esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l'esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato.

Qui occorre segnalare la piena capacità di trattare gli irrazionali dei matematici ellenistici

Il sedicesimo secolo vide infine l'accoglienza favorevole da parte della comunità matematica dei numeri negativi, interi e frazionari. Il diciassettesimo secolo vide, da parte di matematici, l'uso sempre più frequente delle frazioni decimali con la notazione moderna. I successivi cento anni videro i numeri immaginari diventare un potente strumento nelle mani di Abraham de Moivre, e specialmente di Leonhard Euler. Per il diciannovesimo secolo rimase da completare la teoria dei numeri complessi, dimostrare l'esistenza dei numeri trascendenti, dividere gli irrazionali in algebrici e trascendenti, e compiere uno studio scientifico su un argomento che era rimasto quasi in letargo dai tempi di Euclide, la teoria degli irrazionali. L'anno 1872 vide la pubblicazione delle teorie di Karl Weierstrass (tramite il suo allievo Kossak), Eduard Heine (Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), e Richard Dedekind. Méray aveva preso nel 1869 lo stesso punto di partenza di Heine, ma generalmente si attribuisce tale teoria all'anno 1872. Il metodo di Weierstrass fu completamente avviato da Pincherle (1880), e quello di Dedekind ricevette maggiore risalto tramite il successivo lavoro dell'autore (1888) e il più recente appoggio di Tannery (1894). Weierstrass, Cantor, e Heine basarono le loro teorie sulle serie infinite, mentre Dedekind, riallacciandosi a Euclide, fondò la sua sull'idea di un taglio (Schnitt) nel sistema dei numeri razionali, cioè nella bipartizione della totalità dei numeri razionali in due classi caratterizzate da proprietà contrastanti. L'argomento ricevette successivi contributi per mano di Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101), e Méray.

Le frazioni continue, strettamente collegate ai numeri irrazionali (e dovute a Cataldi, 1613), furono prese in considerazione da parte di Eulero, e all'inizio del diciannovesimo secolo ebbero maggior rilievo grazie agli scritti di Joseph Louis Lagrange. Altri notevoli contributi furono dati da Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) e Günther (1872). Peter Ramus (1855) per la prima volta collegò l'argomento con i determinanti, dando vita, con i successivi contributi di Heine, August Ferdinand Möbius e Günther, alla teoria dei determinanti delle frazioni continue. Anche Dirichlet contribuì alla teoria generale.

I numeri trascendenti furono per la prima volta distinti dagli irrazionali algebrici da Kronecker. Lambert provò (1761) che π non può essere razionale, e che eⁿ è irrazionale se n è razionale (eccetto n = 0), dimostrazione, comunque, che lasciò molto a desiderare. Legendre (1794) completò la dimostrazione di Lambert, e mostrò che π non è la radice quadrata di un numero razionale. Joseph Liouville (1840) mostrò che né e né e² possono essere radici di un'equazione quadratica intera. Ma l'esistenza di numeri trascendenti fu per la prima volta stabilita da Liouville (1844, 1851); la sua dimostrazione fu successivamente rimpiazzata da Georg Cantor (1873). Charles Hermite (1873) provò per primo la trascendenza di e, e Ferdinand von Lindemann (1882), partendo dalle conclusioni di Hermite, mostrò lo stesso per π. La dimostrazione di Lindemann fu molto semplificata da Weierstrass (1885), e ulteriormente da David Hilbert (1893); infine fu resa quasi elementare da Hurwitz e Gordan.

[modifica] Irrazionalità della radice quadrata di 2

Una dimostrazione dell'irrazionalità della radice quadrata di 2 è la seguente, che procede per assurdo. La proposizione è provata assumendo l'opposto e mostrando che è falso, che implica che la proposizione iniziale debba essere vera.

1. Assumiamo che √2 sia un numero razionale. Ciò comporta che esistono due interi a e b tali che a / b = √2.
2. Allora √2 si può scrivere come una frazione irriducibile a / b tale che a e b sono interi coprimi e (a / b)² = 2.
3. Segue che a² / b² = 2 ed a² = 2b².
4. Dunque a² è pari perché è uguale a 2b² che è ovviamente pari.
5. Segue che anche a deve essere pari. (Infatti numeri dispari hanno quadrati dispari e numeri pari hanno quadrati pari.)
6. Poiché a è pari, esiste un intero k che soddisfa: a = 2k.
7. Sostituendo otteniamo: 2b² = (2k)², cioè b² = 2k².
8. Poiché 2k² è pari segue che anche b² è pari e quindi anche b è pari.
9. In base alla (5) e la (8) a e b sono entrambi pari, che contraddice il fatto che a / b sia irriducibile come supposto nella (2).

Poiché abbiamo ottenuto una contraddizione con l'assunzione che √2 sia un numero razionale, essa deve essere falsa. Dunque abbiamo dimostrato l'opposto, cioè che √2 è irrazionale.

Questa dimostrazione si può generalizzare per dimostrare che qualunque radice di qualunque numero naturale è un numero naturale o è irrazionale.

[modifica] Dimostrazione alternativa

Un'altra dimostrazione per assurdo che dimostra l'irrazionalità di √2 è meno conosciuta ma interessante. Essa procede osservando che se √2 = m/n allora √2 = (2n − m)/(m − n), quindi una frazione ai minimi termini viene ridotta in termini ancora minori. Questa è una contraddizione se n e m sono interi positivi, dunque l'assuzione che √2 sia razionale deve essere falsa. Da un triangolo rettangolo isoscele di cui i cateti e l'ipotenusa abbiano rispettivamente lunghezze n e m, tramite una classica costruzione con riga e compasso, e' possibile costruire un triangolo isoscele rettangolo più piccolo tale che i cateti e l'ipotenusa abbiano rispettivamente lunghezze m − n e 2n − m. Questa costruzione dimostra l'irrazionalità di √2 con lo stesso tipo di metodo che fu impiegato dagli antichi geometri greci.

[modifica] Irrazionalità di alcuni logaritmi

I numeri di cui più facilmente si dimostra l'irrazionalità sono i logaritmi con base ed argomento interi, come log₂3. L'argomentazione tramite dimostrazione per assurdo è la seguente:

• Supponiamo che log₂3 sia razionale. Allora esistono due interi positivi m e n tali che log₂3 = m/n.
• Di conseguenza 2^m/n = 3.
• Allora 2^m = 3ⁿ.
• Ma 2^m è pari (perché almeno uno dei suoi fattori primi è 2) e 3ⁿ è dispari (perché tutti i suoi fattori sono uguali a 3), pertanto ciò è impossibile.

[modifica] Altri numeri irrazionali

Quasi tutti i numeri irrazionali sono trascendenti e tutti i numeri trascendenti sono irrazionali: l'articolo sui numeri trascendenti elenca diversi esempi. e^r e π^r sono irrazionali se r ≠ 0 è razionale; anche e^π è irrazionale.

Un altro modo di costruire numeri irrazionali è come numeri algebrici irrazionali, cioè zeri di polinomi a coefficienti interi: iniziamo con un'equazione polinomiale:

p(x) = a_n xⁿ + a_n-1 xⁿ⁻¹ + ... + a₁ x + a₀ = 0

dove i coefficienti a_i sono interi. Supponiamo di sapere che esistono numeri reali x tali che p(x) = 0 (per esempio se il polinomio è di grado dispari). Le uniche possibile radici razionali di quest'equazione polinomiale sono della forma r/s dove r è un divisore di a₀ ed s è un divisore di a_n; c'è solo un numero finito di questi candidati che è facile controllare a mano. Se nessuno di loro è una radice di p, allora x deve essere irrazionale. Per esempio, questa tecnica può essere usata per mostrare che x = (2^1/2 + 1)^1/3 è irrazionale: abbiamo (x³ − 1)² = 2 e quindi x⁶ − 2x³ − 1 = 0, e quest'ultimo polinomio non ha alcuna radice razionale (gli unici candidati possibili sono ±1).

Poiché i numeri algebrici formano un campo, molti numeri irrazionali possono essere costruiti combinando numeri algebrici e trascendenti. Per esempio 3π+2, π + √2 ed e√3 sono irrazionali (nonché trascendenti).

[modifica] Numeri irrazionali ed espansioni decimali

Spesso si crede che i matematici definiscano "numero irrazionale" in termini di espansione decimale, chiamando un numero irrazionale se la sua espansione decimale non si ripete né termina. Nessun matematico utilizza tale definizione, in quanto la scelta della base 10 sarebbe arbitraria e la definizione tipica è più semplice e più motivata. Tuttavia è vero che un numero è nella forma n/m, dove n ed m sono interi, se e solo se la sua espansione decimale si ripete o è finita. Quando l'algoritmo di divisione ("in colonna") viene applicato alla divisione di n per m, sono possibili solo m resti. Se 0 appare come resto, l'espansione decimale si conclude. Se 0 non compare, allora l'algoritmo può richiedere al massimo m − 1 passi senza usare ogni resto più di una volta. Dopodiché, un resto deve ricomparire, e quindi l'espansione decimale si ripete. Al contrario, supponiamo di essere di fronte ad un decimale periodico, ad esempio:

Poiché la dimensione del periodo è 3, moltiplichiamo per 10³:

e sottraiamo A da entrambi i membri:

Allora

(Il "135" si può trovare rapidamente tramite l'algoritmo di Euclide.)

[modifica] Numeri di cui non è accertata l'irrazionalità

Non si sa ancora se π + e o π − e sono irrazionali o no. Infatti, non c'è nessuna coppia di interi non nulli m ed n per cui si sappia se mπ + ne è irrazionale o no. Non si sa neanche se 2^e, π^e, π^√2 o la costante di Eulero-Mascheroni sono irrazionali.

[modifica] L'insieme di tutti i numeri irrazionali

L'insieme di tutti i numeri irrazionali non è numerabile (poiché i razionali sono numerabili e i reali non lo sono). L'insieme degli irrazionali algebrici, ossia gli irrazionali non-trascendenti, è numerabile. Usando il valore assoluto per misurare le distanze, i numeri irrazionali diventano uno spazio metrico che non è completo. Tuttavia, questo spazio metrico è omeomorfo allo spazio metrico completo di tutte le sequenze di interi positivi; l'omomorfismo è dato dall'espansione in frazione continua infinita. Questo dimostra che il teorema delle categorie di Baire vale per lo spazio dei numeri irrazionali.