Costruzioni con riga e compasso

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Il problema delle costruzioni con riga e compasso ha accompagnato gli sviluppi della geometria nella Grecia antica.
Per i matematici greci i problemi geometrici si presentavano non nella forma genericamente esistenziale, ma in quella costruttiva. La prima proposizione degli Elementi di Euclide ci presenta subito un problema costruttivo: "Sopra una data retta terminata (segmento) costruire un triangolo equilatero". La geometria era inoltre utilizzata per risolvere quelli che per noi ora sono problemi algebrici.

Indice

1 Riga e compasso "ideali"
2 Punti costruibili e campo euclideo
3 Problemi risolvibili con "meno strumenti"
4 Costruzione di poligoni regolari
5 Problemi classici e costruzioni impossibili
6 Voci correlate

[modifica] Riga e compasso "ideali"

Cosa significa fare delle costruzioni con riga e compasso? Significa, a partire almeno da due punti nel piano, compiere un numero finito di operazioni con due strumenti "ideali" che sono la riga (per tracciare rette) e il compasso (per tracciare circonferenze). Le operazioni grafiche di base impiegate negli Elementi sono esclusivamente le seguenti cinque:

dati due punti, tracciare la retta passante per essi (o, per estensione, prolungare un segmento);
dati due punti A e B, tracciare una circonferenza di centro A e passante per B;
determinare l'eventuale punto di intersezione di due rette;
determinare gli eventuali punti d'intersezione di una circonferenza con una retta;
determinare gli eventuali punti d'intersezione di due circonferenze.

In questo senso si dice che le costruzioni contenute negli Elementi di Euclide sono ottenute mediante riga e compasso.
Si deve sottolineare come si debba prescindere dalla materialità delle costruzioni e dai livelli di approssimazione che attengono all'uso di strumenti meccanici: la teoria delle costruzioni con riga e compasso è rigorosamente teoretica e non pratica.
Va inoltre detto che la riga ed il compasso "ideali" con i quali si affrontano i problemi costruttivi, non sono strumenti metrici (come la riga graduata ed il compasso ad apertura graduata). Ad esempio, il problema della costruzione di un segmento di lunghezza doppia rispetto ad un segmento di lunghezza data si deve risolvere con le operazioni sopra elencate (segnatamente la 3 e la 4): non si può misurare il segmento e prolungarlo con un altro segmento della stessa misura.
Non è inoltre possibile utilizzare il cosiddetto metodo d'inserzione, cioè utilizzare il compasso aperto per trasportare una certa misura in un'altra parte del piano inserendola per tentativi in uno spazio opportuno. E comunque, in generale, non è possibile spostare il compasso aperto da una parte all'altra del piano.

È noto che - al di là delle costruzioni di cui trattano gli Elementi di Euclide - i matematici greci si erano posti problemi complessi di costruzione che solo nel XIX secolo, successivamente alla elaborazione della teoria dei campi ad opera di Galois, Abel ed altri, sono stati dimostrati non risolvibili con riga e compasso.

[modifica] Punti costruibili e campo euclideo

Avendo in mente la suddetta connotazione classica del problema delle costruzioni con riga e compasso, si può arrivare ad una sua rigorosa formulazione teorica valendosi dei metodi della geometria analitica che, com'è noto, permettono sempre di trasformare un problema geometrico in un problema analitico.
Utilizzando il linguaggio della geometria analitica un qualsiasi problema di costruzione con riga e compasso può sempre formularsi nei seguenti termini:

Dati più punti in un piano riferiti ad un sistema di coordinate (definito a partire dai punti dati), stabilire se le coordinate di un ulteriore determinato punto sono ricavabili attraverso le cinque operazioni grafiche sopra enunciate.

Si dimostra facilmente che l'utilizzo della sola riga consente di raggiungere tutti e soli i punti le cui coordinate stanno nel "campo di razionalità" definito dalle coordinate dei punti dati, vale a dire eseguendo, per ogni coppia $a$ , $b$ di numeri dati, le operazioni algebriche $a + b$ , $a - b$ , $a * b$ , $a / b$ .
Si dimostra poi che, con l'aggiunta del compasso, è possibile realizzare una "estensione quadratica" del campo di razionalità, costruendo per ogni numero $a$ in esso contenuto il numero $\sqrt{a}$ .
Applicando un numero finito qualsivoglia di estensioni quadratiche si giunge al così detto "campo euclideo".
Si dimostra che:

Dati nel piano più punti riferiti ad un sistema di coordinate, ogni ulteriore punto cui si perviene, partendo dai punti dati, mediante un numero finito di operazioni eseguite con la riga e con il compasso, ha coordinate che appartengono al "campo euclideo" definito da tali dati.

Detto in termini analitici, le coordinate dei "punti costruibili" sono soluzioni di equazioni che hanno come minimo grado una potenza di 2.

[modifica] Problemi risolvibili con "meno strumenti"

I problemi di costruibilità possono essere studiati anche sotto condizioni diverse rispetto all'utilizzo della riga e del compasso. Il danese Mhor e l'italiano Mascheroni giunsero indipendentemente a stabilire, ben prima che si arrivasse ad una dimostrazione esatta di quale siano le lunghezze ed i punti costruibili, che:
Ogni problema risolvibile con riga e compasso è risolvibile anche con il solo compasso (teorema di Mhor - Mascheroni).
I problemi di costruzione dai quali partì Mascheroni nella sua dimostrazione erano i seguenti:

condurre per un punto dato la parallela ad una retta data (nel senso di determinare almeno due punti appartenenti a tale retta);
determinare un qualsiasi segmento multiplo di un segmento assegnato;
costruire il punto simmetrico di un punto dato rispetto ad una retta data.

Risolti tali problemi, si giunge facilmente alla dimostrazione del teorema in questione.
I matematici Poncelet e Steiner hanno invece dimostrato che:
Ogni problema risolvibile con riga e compasso e risolvibile anche con la riga e cerchio fisso (teorema di Poncelet - Steiner).
In altri termini, quando sia dato nel piano un cerchio completamente tracciato di cui sia noto il centro, tutti i problemi risolvibili con riga e compasso sono risolvibili anche con la sola riga.

[modifica] Costruzione di poligoni regolari

Il problema in questione è definibile nei termini seguenti: dato il lato $l$ costruire un poligono regolare di N lati.
La costruzione si può facilmente realizzare per N=3, 4, 5, 6; ma già per N=7 incontriamo difficoltà. Interessa dunque capire quali poligoni sono costruibili con riga e compasso e quali no.
Il giovane Gauss nel 1796 riuscì a dimostrare che, se p è un numero primo di Fermat, allora il poligono regolare con un numero p di lati è costruibile con riga e compasso.
Ricordiamo che i numeri di Fermat sono espressi dalla formula $F_{n} = 2^{(2^n)} + 1$ e che solo i numeri ottenuti per n = 0,1,2,3,4 (i cui valori sono rispettivamente 3, 5,17, 257, 65537) sono stati sinora verificati essere primi.
Gauss provò dunque, più in generale, che un poligono regolare di N lati è costruibile se la sua scomposizione in fattori primi è del tipo
$N=2^{k_0}{p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\cdots{p_s}^{k_s}$
dove ${k_0},{k_1}\cdots{k_s}$ sono numeri interi non negativi ed i fattori $p j$ sono numeri di Fermat primi.
Egli intuì anche che la condizione suddetta doveva essere anche necessaria, ma la cosa venne provata solo più tardi da Pierre Wantzel, nel 1836.

[modifica] Problemi classici e costruzioni impossibili

I più noti problemi, già affrontati dai matematici greci e che hanno tenuto desta l'attenzione di generazioni di matematici successivi prima che si dimostrasse la impossibilità di risolverli con riga e compasso, sono:

la duplicazione del cubo;
la trisezione dell'angolo;
la quadratura del cerchio.

[modifica] Duplicazione del cubo

Si tratta di costruire con riga e compasso lo spigolo di un cubo che abbia volume doppio di un cubo dato. Se $l$ è lo spigolo del cubo dato, occorre costruire un segmento di lunghezza $\sqrt[3]2{l}$ , che non sta nel "campo euclideo" delle lunghezze costruibili con riga e compasso.

[modifica] Trisezione dell'angolo

Per approfondire, vedi la voce Trisezione dell'angolo.

Il problema richiede, dato un qualsiasi angolo $φ$ , di suddividerlo in tre angoli uguali.
Sappiamo dalla trigonometria che è

$\tan(\phi) = \frac{3\tan(\phi/3)-\tan^3(\phi/3)}{1-3tan^3(\phi/3)}$

Ponendo dunque $m = tan(φ)$ e $x = tan(φ / 3)$ si ottiene l'equazione cubica:

$x 3 - 3 m x 2 - 3 x + m = 0$

che (salvo casi particolari) è irriducibile; cosa che prova come il problema della trisezione dell'angolo non sia (salvo casi particolari) risolubile con riga e compasso.

[modifica] Quadratura del cerchio

Per approfondire, vedi la voce Quadratura del cerchio.

Quello della quadratura del cerchio il più famoso dei problemi di costruzione con riga e compasso, per il quale sono state proposte una quantità notevolissima di "false dimostrazioni", al punto che esso è diventato una metafora per indicare un problema di impossibile soluzione.
Il problema richiede che dato un cerchio di raggio $r$ si costruisca il lato $l$ di un quadrato che abbia la stessa area di tale cerchio.
Poiché il lato del quadrato che si vuole costruire deve avere lunghezza $l$ pari a $\frac{1}{\sqrt\pi}$ $r$ dove $π$ è, come dimostrato da Lindemann, un numero trascendente (non ottenibile cioè mediante alcuna equazione algebrica a coefficienti razionali, non importa di quale grado), risulta evidente l'impossibilità di risolvere il problema con riga e compasso.