Geometrinen konstruktiotehtävä
Wikipedia
Geometrisellä konstruktiotehtävällä tarkoitetaan geometriassa tehtävää, jossa on annettu jokin alkuehto, josta lähtien pitää harpin ja viivaimen avulla konstruoida eli tiettyjä täsmällisiä sääntöjä noudattaen piirtää jokin kuvio.
Geometriset konstruktiot askarruttivat jo antiikin matemaatikoita. Antiikin kolmena suurena matematiikan ongelmana tunnetaan kolme konstruktiotehtävää: ympyrän neliöiminen (on konstruoitava neliö, jonka ala on sama kuin annetun ympyrän), kulman jakaminen kolmeen yhtäsuureen osaan ja kuution kahdentaminen (on konstruoitava kuutio, jonka tilavuus on kaksi kertaa niin suuri kuin annetun kuution). Nämä tehtävät on lopullisesti osoitettu mahdottomiksi 1800-luvulla (ks. edempänä). Koska antiikin kolmen suuren ongelman lopulliset ratkaisut ovat kuitenkin hyvin abstrakteja, jotkut amatöörigeometrit elättelevät yhä turhaa toivoa konstruktioiden mahdollisuudesta, ja yliopistojen matematiikan laitoksille tarjotaan jatkuvasti eri tavoin virheellisiä ratkaisuja.
Geometrisessa konstruktiossa käytettävät harppi ja viivain ovat idealisoituja työkaluja, joiden käyttäminen vastaa Eukleideen ensimmäisten kolmen aksiooman soveltamista. Viivaimen käyttö perustuu olettamuksiin, että minkä tahansa kahden pisteen väliin voidaan piirtää jana ja että mikä tahansa jana voidaan jatkaa suoraksi. Viivaimella ei voi mitata etäisyyksiä (katso kuitenkin edempänä neusis-konstruktioista). Harpin käyttö vastaa olettamusta, että mikä tahansa piste keskipisteenä voidaan piirtää annetun säteinen ympyrä. Harpilla ei voi ilman muuta siirtää etäisyyksiä, joskin etäisyyden siirtäminen on helppo tehtävä. Italialainen matemaatikko Lorenzo Mascheroni osoitti vuonna 1797, että kaikki harpilla ja viivaimella tehtävät konstruktiot voi tehdä pelkällä harpilla.
Antiikin aikanakin tehtiin konstruktioita myös monipuolisemmalla työkalupakilla, ns. neusis-konstruktioita. Neusis-konstruktiossa on luvallista merkitä annettu etäisyys suoralle ja sitten "liu'uttaa" suora haluttuun asemaan. Tavallaan käytössä on siis mittaviivain. Arkhimedes jakoi kulman kolmeen osaan neusis-konstruktiolla. Myös kuution kahdentaminen on mahdollinen neusis-konstruktiona mutta ympyrän neliöiminen ei. Perinteeksi kuitenkin muodostui sallia konstruktioissa ainoastaan harpin ja viivaimen käyttö. On jopa suhtauduttu epäillen sellaisiin konstruktioihin, joiden alkuehtona oletetaan jotain, mitä ei voi harpin ja viivaimen avulla konstruoida, kuten säännöllinen yhdeksänkulmio tai kolmeen osaan jaettu kulma.
Konstruktiotehtävien ratkaiseminen johti lopulta 1800-luvulla abstraktin algebran kehittymiseen. Esimerkiksi ympyrän neliöiminen voidaan todistaa mahdottomaksi huomaamalla, että harpilla ja viivaimella saatujen reaalilukujen kunnan laajennuksen aste on kakkosen potenssi reaalilukujen kunnan suhteen, kun taas ympyrän neliöimisen ollessa mahdollista olisi luvun π minimaalipolynomin oltava kakkosen potenssi. Mutta koska π on transkendenttiluku, on ympyrän neliöiminen mahdotonta.
Kulman kolmijaon mahdottomuus perustuu jälleen algebrallisten laajennusten asteisiin. Kulman kolmijako johtaa aina jaottomaan kolmannen asteen yhtälöön, joka ei ole kakkosen potenssi. Helpoiten tämä huomataan kehittämällä cos(3α) kolmannen asteen yhtälöksi cos(3α) = 4cos3α − 3cosα. Kun valitaan α = 2π / 3, päädytään jaottomaan yhtälöön 8x3 − 6x + 1 = 0, missä on merkitty x: = cosα.
Kuution kahdentaminen johtaa luvun ![\sqrt[3]{2}](../../../math/6/2/f/62f6a0ce6cf44d89c6f3b211c98c43bd.png)
konstruoimiseen. Tämän minimaalipolynomi kunnan 
suhteen on x3 − 2, joka on esimerkiksi Eisensteinin kriteerion perusteella jaoton. Siten kuutiota ei voida kahdentaa.
Niin ikään säännöllisen monikulmion piirtäminen askarrutti aikoinaan matemaatikoita. Carl Friedrich Gauss osoitti vuonna 1798, että säännöllinen p-kulmio voidaan konstruoida geometrisesti ainakin, jos p on Fermat'n alkuluku tai 2:n ja erisuurten Fermat'n alkulukujen tulo. Hän julkaisi tuloksensa kirjassaan Disquisitiones arithmeticae vuonna 1801 ja arveli myös, että muita konstruoitavia säännöllisiä monikulmioita ei ole, minkä kuitenkin todisti vasta Pierre Wantzel vuonna 1836. Wantzelin todistuksen ansiosta voitiin vastata täsmällisesti siihen kysymykseen, mitkä monikulmiot voidaan konstruoida geometrisesti: ne, joissa sivujen lukumäärän parittomat alkutekijät ovat erisuuria Fermat'n alkulukuja.
Yleisesti pätee seuraava lause:
- Luku α on konstruoituva jos ja vain jos α kuuluu laajennukseen
![\mathbb{Q}[\sqrt{a_1},\ldots,\sqrt{a_r}], a_i\in\mathbb{Q}[\sqrt{a_1},\ldots,\sqrt{a_{i-1}}]](../../../math/d/5/f/d5f749c5b17984b9201ec8a77097c109.png)
.
