Campi conservativi

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Una qualsiasi grandezza scalare funzione delle coordinate: $U (x, y, z)$ definita entro un insieme dello spazio si chiama campo scalare. Si parla di superfici di livello quando consideriamo il luogo geometrico dei punti in cui il valore della funzione assume valori costanti:

$U(x,y,z) = cost\;$

Un campo di vettori $\vec V = (V_1,V_2,V_3)$ funzioni delle coordinate x,y,z invece, si definisce campo vettoriale. Nel caso di campi vettoriali si parla di linee di flusso intendendo con ciò quelle linee ideali tali che in ogni punto sono tangenti alla direzione del campo. Alcuni campi vettoriali di notevole importanza in fisica sono:

campi di velocità come nella fluidodinamica;
campi di forze come in elettricità (campo elettrico), magnetismo (campo magnetico), gravitazione (campo gravitazionale) e così via.

Indice

1 Campi scalari
2 Campi conservativi
- 2.1 Conseguenze
3 Esempi di campi conservativi
- 3.1 Campo costante
- 3.2 Campo centrale
4 Voci correlate

[modifica] Campi scalari

Nel caso del campo scalare è sempre possibile dedurre da esso un campo vettoriale: detto campo del gradiente. Vogliamo un campo scalare generico dipendente dalle coordinate e sia $d\vec s = \vec i dx + \vec j dy + \vec k dz$ uno spostamento infinitesimo; vogliamo calcolare la variazione della nostra funzione spostandoci lungo questo spostamento:

$dU = \frac {\partial U}{\partial x} dx + \frac {\partial U}{\partial y} dy + \frac {\partial U}{\partial z} dz$

A questo punto si introduce l'operatore gradiente di componenti:

$\vec {grad} = \vec \nabla = \vec i \frac {\partial }{\partial x} + \vec j \frac {\partial }{\partial y} + \vec k \frac {\partial }{\partial z}$

allora la variazione della funzione scalare U diventa:

$dU = d\vec s \cdot \vec \nabla$

Dunque dato un campo scalare U(x,y,z) si può sempre determinare un campo vettoriale che chiameremo $\vec V$ ; tale che:

$\vec V = - \vec {grad} U = - \vec \nabla U$

[modifica] Campi conservativi

Nel caso di campi vettoriali, invece, non è sempre possibile ricavare da un campo vettoriale un campo scalare, che si chiama in questo caso funzione potenziale. Ci domandiamo quali siano le condizioni per cui ciò avvenga.

La condizione necessaria perché un campo sia conservativo è che:

$\vec V = (V_1,V_2,V_3) = \vec \nabla \cdot U = \left ( \frac {\partial U}{\partial x} , \frac {\partial U}{\partial y} , \frac {\partial U}{\partial z} \right)$

dove la U si chiama potenziale di $\vec V$ . Questa formula impone che condizione necessaria perché un campo sia conservativo è che siano soddisfatte le seguenti uguaglianze:

$\begin{cases} \frac {\partial V_1}{\partial y} = \frac {\partial V_2}{\partial x} \\ \frac {\partial V_2}{\partial z} = \frac {\partial V_3} {\partial y} \\ \frac {\partial V_3}{\partial x} = \frac {\partial V_1} {\partial z} \end{cases}$

Se si introduce la definizione di rotore, possiamo scrivere questa condizione:

$rot \vec V = \vec \nabla \times \vec V = \left ( \frac {\partial V_3}{\partial y} - \frac {\partial V_2}{\partial z} \, , \, \frac {\partial V_3}{\partial x} - \frac {\partial V_1} {\partial z} \, , \, \frac {\partial V_2}{\partial x} - \frac {\partial V_1} {\partial y} \right)$

I campi vettoriali per cui si ha:

$rot \vec V = \vec \nabla \times \vec V = 0$

si dicono irrotazionali. In definitiva perché un campo sia conservativo necessariamente il rotore di questo campo deve essere nullo.

La condizione sufficiente viene data dal lemma di Poincaré:

Se l'insieme in cui è definito il campo è un insieme aperto stellato e il campo è irrotazionale allora il campo è conservativo.

Le condizioni viste sopra sono condizioni sotto forma differenziale. Si possono dare le corrispondenti condizioni necessaria e sufficiente in forma integrale:

Condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale sia conservativo è che l'integrale lungo qualsiasi linea chiusa l:

$\oint_{l} \vec V \cdot d\vec s = 0$

il che corrisponde alla:

$\int_{A}^{B} \vec V \cdot d\vec s = U(B) - U(A) = \int_{A}^{B} \vec \nabla \cdot U d\vec s$

In un campo conservativo, il lavoro compiuto da un vettore dipende esclusivamente dai punti di partenza e di arrivo, e non dal percorso seguito.

L'importanza, in fisica dei campi conservativi risiede nel fatto che un tale tipo di campo di forza ammette un potenziale. Per calcolare il lavoro compiuto dalla forza descritta dal campo vettoriale per uno spostamento che avviene lungo una curva, basta calcolare, infatti, la variazione del potenziale nei punti finale e iniziale senza necessariamente calcolare l'integrale lungo tutte le curve che connettono i due punti.

[modifica] Conseguenze

Un campo è conservativo se, e solo se, il lavoro che compie la forza che genera il campo da un punto ad un altro dello spazio non dipende dal percorso ma solo dal punto di partenza e dal punto di arrivo.
Un campo è conservativo se, e solo se, esso è irrotazionale e definito in un aperto stellato, cioè il rotore è nullo in ogni punto del campo.
Inoltre è importante la seguente osservazione: un campo di forze è conservativo se, e solo se, si può definire una funzione scalare chiamata potenziale, in modo tale che il lavoro che si compie lungo un percorso tra due punti qualsiasi dello spazio è uguale alla variazione di questa funzione scalare in quei due punti.

[modifica] Esempi di campi conservativi

[modifica] Campo costante

Un campo costante in tutto lo spazio è conservativo.
Una rotazione di coordinate porta un tale campo nella forma:
$\vec{F}(\vec{r}) = F_0 \hat{z}$
il cui potenziale è:
$V(\vec{r}) = - F_0 z$

[modifica] Campo centrale

Un campo centrale è conservativo.
Infatti un tale campo è nella forma:
$\vec{F}(\vec{r}) = f(r) \hat{r}$
ed il potenziale è semplicemente
$V(\vec{r}) = - \int_{r_0}^{r} f(r') dr'$
come si può verificare per differenziazione.

[modifica] Voci correlate

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