Assiomi di Hilbert

Nel 1899, David Hilbert scrisse il suo Grundlagen der Geometrie, in cui dava una assiomatizzazione sistematica alla geometria euclidea.

Indice

I concetti primitivi sono il punto, la retta, e il piano. Ci sono anche tre relazioni binarie primitive:

Contiene: un punto può essere contenuto in una retta o in un piano, ed una retta può essere contenuta in un piano;
Stare in mezzo: un punto può stare in mezzo ad altri due;
Congruenza, indicata con il simbolo "≡": angoli e segmenti possono essere congruenti.

Il segmento fra due punti A e B è definito come l'insieme di tutti i punti che stanno tra A e B (inclusi A e B).

Diciamo che dei punti sono allineati se sono contenuti in una retta, complanari se sono contenuti in un piano.

Per ogni coppia di punti distinti passa almeno una retta
Per ogni coppia di punti distinti passa una retta sola
Ogni retta contiene almeno due punti, e c'è almeno un punto che non è contenuto nella retta
Tre punti non allineati sono contenuti in un piano. Ogni piano contiene almeno un punto.
Dati tre punti non allineati, esiste un solo piano che li contiene.
Se due punti contenuti in una retta r stanno in un piano p, allora p contiene ogni punto di r.
Se due piani contengono lo stesso punto, allora esiste almeno un altro punto contenuto in entrambi.
Esistono almeno quattro punti non complanari.

Se un punto A sta tra B e C, A sta anche tra C e B, ed i tre punti sono allineati
Dati due punti distinti A e B, esiste un terzo punto C nella retta passante per A e B tale che B sta tra A e C
Dati tre punti distinti e allineati, ce n'è esattamente uno che giace tra gli altri due
Assioma di Pasch: siano dati tre punti A, B e C non allineati, contenuti in un piano p, ed una retta d contenuta in p non contenente nessuno dei tre punti A, B, C: se d contiene un punto del segmento AB, allora contiene anche un punto di uno dei due segmenti AC e BC. (Intuitivamente l'assioma potrebbe essere espresso così : se una retta entra in un triangolo attraverso un lato, allora deve uscirne da uno degli altri due.)

Siano A, B e A' tre punti su una retta r. Esistono e sono unici due punti C e D su r tali che A' sta tra C e D, e AB ≡ A'C e AB ≡ A'D.
La relazione di congruenza è transitiva, cioè se A′B′ e A′′B′′ sono congruenti ad AB, allora A′B′ ≡ A′′B′′.
Siano AB e BC segmenti su una retta r privi di punti interni comuni, e siano A′B′ e B′C′ segmenti su una retta r′ privi di punti interni comuni. Se AB ≡ A′B′ e BC ≡ B′C′, allora AC ≡ A′C′.
Dati un angolo ABC ed una semi-retta B'C' , esistono e sono uniche due semirette B'D e B'E, tali che l'angolo DB'C' è congruente all'angolo ABC et l'angolo EB'C' è congruente all'angolo ABC.
Se per due triangoli ABC e A′B′C′ si ha che AB ≡ A′B′, AC ≡ A′C′, e l'angolo BAC ≡ all'angolo B′A′C′, allora tutto il triangolo ABC ≡ al triangolo A′B′C′.

Corollario del punto 4: ogni angolo è congruente a sé stesso.

(Postulato di Playfair): Dati una retta r, un punto A non in r, ed un piano p contenente entrambi, esiste al più una retta in p contenente A e non contenente nessun punto di r.

L'esistenza di almeno una retta per A che non interseca r può essere dimostrata e quindi non è necessaria in questo assioma.

(Assioma di Archimede). Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora esiste sulla retta contenente AB una famiglia di punti A₁, A₂, …,A_n tali che i segmenti AA₁, A₁A₂, A₂A₃, …, A_n-1A_n, sono congruenti a CD e tali che B giace tra A e A_n.
(Assioma di completezza lineare). Aggiungendo un punto ad una retta, si ottiene un oggetto che non soddisfa più tutti gli assiomi I, II, III.1-2, V.1.