Mertens-függvény
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A számelméletben a Mertens-függvény meghatározása:
,
minden n természetes számra, ahol μ(k) a Möbius-függvény. Franz Mertens német matematikusról nevezték el.
Mivel a Möbius-függvény csak −1, 0 és +1 értékeket vehet fel, nyilvánvaló, hogy a Mertens-függvény értéke csak lassan változik, és minden x-re |M(x)| ≤ x.
A hiperbola-módszerrel közvetlenül adódik, hogy a prímszámtétel ekvivalens azzal, hogy M(x) = o(x). A Riemann-sejtés pedig azzal ekvivalens, hogy minden 
-ra 
.
Mertens 1897-ben felállította azt a sokkal erősebb sejtést, hogy alkalmas c-re 
, sőt, hogy c=1 megfelel, azaz 
teljesül minden x>1-re. Ezt Stieltjes már 1885-ben kimondta, sőt, egy Hermite-hez írt levelében azt állította, hogy be is bizonyította. Ebben a sejtésben lényegében senki nem hitt, mégis csak 1983. október 18-án sikerült megcáfolnia A. M. Odlyzkonak és H. J. J. te Rielenek hosszadalmas számítógépes kutatás segítségével, ami felhasználta Lovász László nevezetes LLL-algoritmusát.
Azt is belátták, hogy végtelen sokszor teljesül 
illetve végtelen sokszor teljesül 
.
Eljárásuk azonban nem volt konstruktív, azaz csak olyan x szám létezését bizonyította (ún. egzisztenciabizonyítás), amire 
, nem sikerült még becslést sem adnia x nagyságára.
1985-ben Pintz János mély analitikus módszerek segítségével belátta, hogy van ilyen x
alatt. (Itt o,O az ordó jelölésre utal.)
[szerkesztés] Kiszámítás
A Mertens-függvényt az idők során egyre nagyobb n-ekre számolták ki.
| Személy | Év | Határ |
| Mertens | 1897 | 104 |
| von Sterneck | 1897 | 1,5 · 105 |
| von Sterneck | 1901 | 5 · 105 |
| von Sterneck | 1912 | 5 · 106 |
| Neubauer | 1963 | 108 |
| Cohen és Dress | 1979 | 7,8 · 109 |
| Dress | 1993 | 1012 |
| Lioen és van der Lune | 1994 | 1013 |
| Kotnik és van der Lune | 2003 | 1014 |
Based on work by 