Théorème de Wilson

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En mathématiques, et plus précisément, en arithmétique modulaire le Théorème de Wilson énonce une relation entre la fonction factorielle et une congruence modulo un nombre premier.

Il est souvent utilisé pour résoudre des équations diophantiennes comme par exemple dans la preuve donnée par Euler du théorème des deux carrés de Fermat.

[modifier] Histoire

Ce théorème est découvert par Alhazen (965 - 1039). Il doit son nom à la redécouverte de ce résultat par John Wilson (1741 – 1793) un élève de Edward Waring (1736 – 1798) qui publia le premier ce résultat en 1770.

Ni lui, ni Wilson n'en donnèrent de démonstration, la première preuve connue est de Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) et date de 1773. Il existe néanmoins des présomptions laissant penser que Leibniz connaissait ce théorème un siècle plus tôt, même s'il ne l'a jamais publié.

[modifier] Enoncé

Le théorème de Wilson s'énonce ainsi :

$p$ est un nombre premier, si et seulement si :

$(p-1)! \equiv -1 \mod p$

[modifier] Démonstration

La factorielle (p-1)! est le produit de tous les inversibles modulo $p$ (justification possible par le théorème de Bezout); donc si on pouvait grouper tous les termes par paires d'inverses, on obtiendrait $1$ .

L'obstacle à ce regroupement est que certains éléments sont leur propre inverse ! Ces éléments vérifient $x 2 = 1$ ; ce sont donc exactement $1$ et $- 1$ .

Ainsi, dans le produit, on peut regrouper par paires qui se simplifient la plupart des facteurs, sauf $\pm1$ , qui restent et dont le produit est $- 1$ .

Réciproquement, soit n un entier tel que $(n-1)!\equiv -1\ (n)$ . Dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , $\overline{1}\times \overline{2}\times \ldots \times \overline{n-1}=\overline{-1}$ est inversible, car $\overline{-1}$ l'est puisque $(\overline{-1})(\overline{-1})=\overline{1}$ .

Donc il existe $k\in\mathbb{Z}$ , tel que $\overline{1}\times \overline{2}\times\ldots \times\overline{n-1}\times\overline{k}=\overline{1}$ . On en déduit que chaque facteur $\overline{1}, \overline{2}, \ldots, \overline{n-1}$ est inversible dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ donc n est premier avec tous les entiers 1, 2, ..., n-1 donc est premier. On peut aussi dire que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps et donc n est premier.CQFD.