Théorème d'Hurewicz
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Vous avez de Le théorème d'Hurewicz est une description du premier groupe d'homologie singulière d'un espace topologique X à l'aide du groupe fondamental de X.
[modifier] Notations
Soit X un espace topologique connexe par arcs. On note π1(X,x) le groupe fondamental de X de base 
:
- Ses éléments sont les classes d'homotopie de X de base x.
- La loi de groupe est la concaténation de lacets en x.
Si G est un groupe, on note [G,G] le sous-groupe normal de G engendré par les commutateurs de G. Le groupe abG: = G / [G,G] s'appelle l'abélianisé de G. Il est caractérisé par la propriété universelle suivante :
-
- Tout morphisme de groupe de G dans un groupe abélien se factorise à travers abG.
La construction de l'homologie singulière est supposée connue du lecteur. On note H * (X,Z) les groupes d'homologie à coefficients entiers.
[modifier] Énoncé
Théorème : Soit X un espace topologique connexe par arcs. Un lacet ![f:[0,1]\rightarrow X](../../../math/c/7/0/c706d9d5b3ec876a8349e3204ab59ee8.png)
est, en tant que 1-chaine, un cycle. L'application de groupe 
induit un isomorphisme appelé isomorphisme d'Hurewicz :
Autrement dit, H1(X,Z) est naturellement l'abélianisé de π1(X,x)
![f,g:[0,1]\rightarrow X](../../../math/e/a/4/ea48d49955af3ece6e3881743ec9ea85.png)
sont deux chemins concaténables de X (id est 
est un bord. Donc, dans ![\Psi(f)=[\lambda_{f(0)}*f*\lambda_{f(1)}^{-1}]\in ab \pi_1(X,x)](../../../math/3/6/e/36eae6ae666b87451738034eb50b130b.png)
![B_1(X)=Im\left[\partial:H_2(X,Z)\rightarrow H_1(X,Z)\right]](../../../math/1/0/e/10e06f1d916ff764fc5bd99895def82b.png)
. Donc 
[modifier] Exemples
Le théorème d'Hurewicz permet de calculer le premier groupe d'homologie connaissant le groupe fondamental :
| Espace topologique | Description | Groupe fondamental | H1(.,Z) |
|---|---|---|---|
| Rn | Espace euclidien réel de dimension n | 0 (car espace contractible) | 0 |
| S1 | Le cercle unité de C | Z (cf. ...) | Z |
| PnR | L'espace projectif réel de dimension n | Z2 = Z / 2Z | Z2 |
| Tn | Le tore de dimension n | Zn | Zn |
 |
La somme de deux cercles, la figure du huit | L2 | Z2 |
| Σg | La surface orientée de genre g | < a1,...,b1,...,bg | [a1,b1]...[ag,bg] = 1 > | Z2g |
