Surface de Riemann

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On appelle surface de Riemann toute variété différentielle analytique complexe de dimension $1$ . L'étude des surfaces de Riemann est à la croisée de nombreux domaines mathématiques : principalement la géométrie différentielle, mais aussi la théorie des nombres, la topologie algébrique, la géométrie algébrique, les équations aux dérivées partielles... Leur nom rend hommage au mathématicien allemand Bernhard Riemann.

Sommaire

1 Définition
2 Exemples
3 Aspect topologique
4 Géométrie de Riemann pour les surfaces
5 Voir aussi
- 5.1 Références
- 5.2 Articles connexes

[modifier] Définition

Une surface de Riemann se définit de façon analogue à une variété différentielle réelle modelée sur C, mais en exigeant que les applications de changement de cartes soient analytiques complexes.

Il s'agit donc d'un espace topologique séparé, recouvert par des ouverts U_i homéomorphes à des ouverts de C. Les homéomorphismes locaux, appelés cartes $f_i:U_i \to V_i$ sont tels que les fonctions de changement de cartes $f_i\circ f_j^{-1}$ sont des fonctions analytiques entre ouverts de C. L'ensemble de ces cartes forme un atlas pour la surface de Riemann.

On peut ajouter de nouvelles cartes tant qu'elles sont compatibles avec les précédentes, et il existe ainsi un atlas maximal pour la surface de Riemann. On identifiera deux structures de surface de Riemann sur la même surface lorsqu'elles sont compatibles, c'est-à-dire conduisent au même atlas maximal.

[modifier] Exemples

Le plan complexe C est la surface de Riemann la plus simple qui se puisse imaginer : on peut utiliser un seul ouvert pour le recouvrement et la carte f(z) = z. Il est également possible d'utiliser la carte g(z) = z^* (conjugaison complexe). Les atlas à une seule carte {f} et {g} ne sont pas compatibles, ce qui donne la possibilité de munir C de deux structures distinctes de surfaces de Riemann.

Plus généralement, si X est une surface de Riemann munie d'un atlas A, l'atlas conjugué B = {f^* : f ∈ A} n'est jamais compatible avec A, et fournit pour X une autre structure de surface de Riemann.

Toute partie ouverte du plan complexe, ou d'une surface de Riemann possède de façon naturelle une structure de surface de Riemann induite.

La plus simple des surfaces de Riemann compactes est la sphère de Riemann. On l'introduit comme S = C ∪ {∞}. Une première carte est donnée par f(z) = z pour z différent de ∞ ; l'autree carte est g(z) = 1 / z avec z différent de 0 et 1/∞ défini comme valant 0. Alors { f, g } définit un atlas sur S ce qui lui confère une structure de surface de Riemann. Pour une présentation détaillée voir l'article sphère de Riemann.

La théorie du prolongement analytique permet d'associer à une fonction holomorphe sur un ouvert du plan complexe une surface de Riemann, résolvant par exemple la question des déterminations du logarithme ou de la racine carrée complexes.

[modifier] Aspect topologique

Une surface de Riemann peut notamment être vue comme une variété réelle de dimension deux, d'où le nom de surface, munie d'une orientation naturelle. Ainsi le ruban de Möbius, la bouteille de Klein ne peuvent être munies d'une structure de surface de Riemann.

Les surfaces de Riemann compactes sont entièrement décrites du point de vue topologique par un entier appelé genre : les surfaces de Riemann compactes de genre g sont homéomorphes à la sphère à g anses (ou tore à g trous).

[modifier] Géométrie de Riemann pour les surfaces

Il convient a priori de distinguer les surfaces de Riemann, variétés analytiques complexes de dimension 1 et les variétés riemanniennes qui sont des surfaces, c'est-à-dire des variétés de dimension deux munies d'un tenseur métrique. Pourtant les deux notions sont très voisines.

Si Σ est une surface orientée munie d'une structure de variété riemannienne, il est possible de définir une structure presque complexe associée J sur Σ, qui est toujours intégrable, c'est-à-dire que Σ peut être naturellement vue comme une surface de Riemann. L'application J est définie sur chaque espace tangent en exigeant que J(v) soit de même norme que v et que (v,J(v)) soit orthogonal direct.

Réciproquement, si Σ est une surface de Riemann, il est possible de définir plusieurs métriques riemanniennes compatibles avec sa structure complexe. Parmi elles, il en existe une telle que la variété riemannienne obtenue soit complète et de courbure constante -1,0 ou 1. Une telle métrique est unique à un facteur près.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Références

Hershel M. Farkas et Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4
Jürgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X
Eric Reyssat, Quelques aspects des surfaces de Riemann (1989), Birkhaüser, Boston. ISBN 0-8176-3743-5