Produit tensoriel de deux applications linéaires
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Articles scientifiques sur les tenseurs |
Mathématiques |
Produit tensoriel |
Physique |
Convention d'Einstein |
Articles connexes |
Portail des Mathématiques |
Portail de la Physique |
Le produit tensoriel de deux applications linéaires est une construction qui à deux applications linéaires u d'un A-module E1 dans F1, et v d'un A-module E2 dans G2, associe une troisième application linéaire du produit tensoriel dans le produit tensoriel .
[modifier] Définition
On suppose dans cette partie que l'anneau d'opérateurs A des modules étudiés est commutatif. Avec les notations introduites en introduction, l'application suivante de dans
est une application A-bilinéaire. D'après la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une application de dans telle que :
En fait, l'application de l'espace dans le module est bilinéaire, il existe donc une application telle que :
-
- pour toutes applications A-linéaires , .
L'application φ(u,v) de dans s'appelle le produit tensoriel de u et v, et il se note dans la pratique . Attention, cette notation est abusive, car elle peut désigner deux objets de nature différente :
- L'application A-linéaire
- L'élément du produit tensoriel qui n'est pas une application linéaire.
D'autant plus que ψ ne réalise pas systèmatiquement un isomorphisme de sur , si bien qu'il impossible d'identifier les deux « ».
Néanmoins, quand tous les modules E1,E2,F1,F2 ont des bases finies (ce qui en particulier le cas lorsque l'on manipule des espaces vectoriels de dimension finie), alors ψ est un isomorphisme, et cela a bien un sens de confondre le deux notations .
[modifier] Propriétés
- Si E1,E2,F1,F2,G1,G2 sont six modules, et si on se donne des applications linéaires , , alors
- Si ui est un isomorphisme de Ei sur Fi et vi est l'isomorphisme réciproque, alors
-
- est inversible et son inverse et .