Produit tensoriel

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Sommaire

1 Exemples
- 1.1 Produit tensoriel de deux vecteurs
- 1.2 Produit tensoriel de deux tenseurs
2 Produit tensoriel contracté
3 Voir aussi

[modifier] Exemples

[modifier] Produit tensoriel de deux vecteurs

$A_i \otimes B_j =\left\{ \sum_i \mathbf{\delta^i} a_i \right\} \otimes \left\{ \sum_j \mathbf{\delta^j} b_j \right\}$

$= \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4\end{bmatrix} = C_{ij}$

[modifier] Produit tensoriel de deux tenseurs

$T_{ij} \otimes G_{kl} = \left\{ \sum_i \sum_j \mathbf{\delta^i \delta^j} t_{ij} \right\} \otimes \left\{ \sum_k \sum_l\mathbf{\delta^k \delta^l} g_{kl} \right\}$

$= \sum_i \sum_j \sum_k \sum_l \left\{ \mathbf{\delta^i \delta^j \delta^k \delta^l} \right\} t_{ij} g_{kl} = A_{ijkl}$

[modifier] Produit tensoriel contracté

On définit aussi le produit tensoriel contracté une fois comme ceci.

$T_i^j \bar \otimes G_k^l =\left\{ \sum_i \sum_j \mathbf{\delta_i \delta^j} t_i^j\right\} \bar \otimes \left\{ \sum_k \sum_l\mathbf{\delta_k \delta^l} g_k^l \right\}$

$= \sum_i \sum_j \sum_k \sum_l \{ \mathbf{\delta_i \delta^j} \cdot \mathbf{\delta_k \delta^l} \} t_i^j g_k^l$

$= \sum_i \sum_j \sum_k \sum_l \delta_k^j \mathbf{\delta_i \delta^l} t_i^j g_k^l$

$=\sum_i \sum_l \mathbf{\delta_i \delta^l} \left( \sum_j t_i^j g_j^l \right) = A_i^l$

Le symbole $\delta_k^j$ est appelé le delta de Kronecker

Avec la convention d'Einstein on n'écrit pas les sommations qui deviennent très vite lourdes à traîner. On somme les indices répétés deux fois de la quantité appropriée.

On procède de la même manière pour des tenseurs d'ordre différent. On peut aussi effectuer un produit tensoriel contracté 2, 3, 4..., n fois. Ici, un exemple pour un produit contracté 2 fois entre un tenseur d'ordre 3 et un d'ordre 2.

$T_{i \ \ k}^{\ j} \bar{\bar \otimes} E^l_{\ m} =\{ \mathbf{\delta^i \delta_j \delta^k} t_{i \ \ k}^{\ j} \} \bar{\bar \otimes} \{ \mathbf{\delta_l \delta^m} e^l_{\ m} \}$

$= \{ \mathbf{\delta^i \delta_j \delta^k} \bar{\bar \otimes} \mathbf{\delta_l \delta^m} \} t_{i \ \ k}^{\ j} \ e^l_{\ m}$

$= \delta_l^k\{ \mathbf{\delta^i \delta_j} \bar \otimes \mathbf{ \delta^m} \} t_{i \ \ k}^{\ j} \ e^l_{\ m}$

$=\delta_l^k \delta_j^m \{ \mathbf{\delta_i } \} t_{i \ \ k}^{\ j} \ e^l_{\ m}$

$= \{ \mathbf{\delta_i } \} t_{i \ \ k}^{\ j} \ e^k_{\ j} = V_i$

Ici le résultat est un tenseur d'ordre 1 c'est-à-dire un vecteur. L'ordre du tenseur se calcule comme suit : $O = P + Q - 2(n)$ Où O est l'ordre du nouveau tenseur, P et Q ceux du premier et deuxième tenseur alors que (n) est le nombre de fois que le produit est contracté.

On utilise aussi pour le produit contracté la notation suivante : un point entre les tenseurs, comme pour le produit scalaire classique $\underline{u} . \underline{v}$ Pour les produits contractés multiples, on note l'opération avec des points superposés (autant de point que de contraction dans le produit). Ainsi, le double-produit contracté se note $\underline{\underline{\sigma}}:\underline{\underline{\epsilon}}$ .