Nombre taxicab

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En mathématiques, le nième nombre taxicab, noté Ta(n) ou Taxicab(n), est défini comme le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes à l'ordre des opérandes près. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1954 que de tels nombres existent pour tous les entiers n ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment les construire, et pour le moment, seuls les cinq premiers nombres taxicab sont connus :

$\operatorname{Ta}(1) = 2 = 1^3 + 1^3$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(2)&=&1729&=&1^3 + 12^3 \\&&&=&9^3 + 10^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(3)&=&87539319&=&167^3 + 436^3 \\&&&=&228^3 + 423^3 \\&&&=&255^3 + 414^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(4)&=&6963472309248&=&2421^3 + 19083^3 \\&&&=&5436^3 + 18948^3 \\&&&=&10200^3 + 18072^3 \\&&&=&13322^3 + 16630^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(5)&=&48988659276962496&=&38787^3 + 365757^3 \\&&&=&107839^3 + 362753^3 \\&&&=&205292^3 + 342952^3 \\&&&=&221424^3 + 336588^3 \\&&&=&231518^3 + 331954^3\end{matrix}$

[modifier] Histoire

Ta(2) fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657 et fut plus tard immortalisé par un incident impliquant les mathématiciens Hardy et Srinivasa Ramanujan :

« Je [G. H. Hardy] me rappelle qu'une fois en allant le [Ramanujan] voir lorsqu'il était couché et malade à Putney, j'ai été conduit dans un taxi-cab portant le n°1729, et remarquai que le nombre (7·13·19) semblait plutôt ennuyeux, et j'espérais qu'il ne fût pas un présage défavorable. « Non », me dit-il, « c'est un nombre très intéressant ; il est le plus petit nombre exprimable comme une somme de deux cubes [positifs] en deux manières différentes. »

Les nombres taxicab postérieur furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs; John Leech obtint Ta(3) en 1957, E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent Ta(4) en 1991, et David W. Wilson trouva Ta(5) en novembre 1997.

[modifier] Futur

Ta(6) n'a pas encore été trouvé, ou du moins prouvé, à ce jour ; néanmoins, le même Wilson a trouvé une somme de 6 manières montrant que le 6ème nombre taxicab Ta(6) est ≤ 8 230 545 258 248 091 551 205 888. En 1998, Daniel J. Bernstein montra que 391 909 274 15 699 968 ≥ Ta(6) ≥ 10¹⁸, et en 2002, Randall L. Rathbun donna une preuve que Ta(6) ≤ 24 153 319 581 254 312 065 344. Récemment, en mai 2003, Stuart Gascoigne vérifia que Ta(6) > 6,8 · 10¹⁹, et Cristian S. Calude, Elena Calude et Michael J. Dinneen montrèrent qu'avec une haute probabilité (> 99 %), Ta(6) = 24 153 319 581 254 312 065 344.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

[modifier] Liens externes

la séquence A011541 de l'OEIS
Message électronique de Randall L. Rathbun annonçant sa découverte de 24 153 319 581 254 312 065 344

[modifier] Références

G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 3rd ed., Oxford University Press, London & NY, 1954, Thm. 412.
J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x³ + y³ = z³ + w³ = u³ + v³ = m³ + n³, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, en ligne
David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48 988 659 276 962 496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), en ligne
D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389--394.
C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203