Loi de Planck

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Vous avez de nouveaux messages (diff^?).

La loi de Planck définit la distribution de luminance monochromatique énergétique du rayonnement thermique du corps noir en fonction de la température thermodynamique.

La luminance monochromatique^[1] énergétique est un flux énergétique par unité de surface, par unité d'angle solide et par unité de longueur d'onde ; elle s'exprime en W/(m³.sr) en unités SI :

$L_\lambda = \frac{2hc_\lambda^2\lambda^{-5}}{\exp \left(\frac{hc_\lambda}{k\lambda T}\right)-1}$

$c λ$ $= c / n λ$ est la vitesse du rayonnement électromagnétique dans le milieu où se propage le rayonnement, avec :

$n λ$ indice de réfraction du milieu pour la longueur d'onde λ

c = 299 792 458 m/s (vitesse de la lumière)

h = 6,626 17×10^-34 J.s (constante de Planck)

k = 1,380 66×10^-23 J/K (constante de Boltzmann)

T est la température de la surface du corps noir en kelvins

Lorsque le rayonnement se propage dans un milieu d'indice de réfraction 1, ce qui est le cas du vide absolu, ou de l'air en première approximation, la loi de Planck s'exprime sous la forme plus usuelle :

$L_\lambda = \frac{1}{\pi} \frac{c_1\lambda^{-5}}{\exp \left(\frac{c_2}{\lambda T}\right)-1}$

où,

c 1 = 2π h c 2 =

3,741 8310×10^-16 W.m²

$c_2 = \frac{hc}{k}=$ 1,438 79×10^-2 m.K

La loi de Planck permet de déterminer la longueur d'onde pour laquelle la luminance monochromatique énergétique est maximale ; en dérivant son expression après avoir posé :

$x = \frac{c_2}{\lambda T}$

nous obtenons l'équation :

e - x + 0,2 x - 1 = 0

dont la seule solution positive est $x = 4,9651$ ; ainsi :

$\lambda_{m} = \frac{hc}{4,965 1kT}$

Dans le domaine des grandes longueurs d'onde, lorsque $λ$ ≫ $\frac{c_2}{T}$ , l'exponentielle peut être remplacée par l'approximation :

$\exp \left(\frac{c_2}{\lambda T}\right) \approx 1 + \frac{c_2}{\lambda T}$

et la loi de Planck se simplifie sous la forme connue de la loi de Rayleigh-Jeans :

$L_\lambda = \frac{1}{\pi} \frac{c_1\lambda^{-4}.T}{c_2} = \frac{2kc T}{\lambda^{4}}$

[modifier] Notes

↑ L'expression de la loi de Planck en fonction de la longueur d'onde correspond à l'usage courant qui en est fait en thermique industrielle, les échanges radiatifs s'effectuant généralement entre surfaces séparées par de l'air dont l'indice de réfraction est proche de 1 ; compte-tenu de la relation λν = c, cette loi peut également s'exprimer en fonction de la fréquence ν.