Groupe algébrique
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Vous avez de  |
Cet article est une ébauche à compléter concernant les mathématiques, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant. |
 |
Cet article est une ébauche à compléter concernant l'algèbre, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant. |
Un groupe algébrique est un groupe qui est également muni d'une structure de variété algébrique, telle que les deux structures soient compatibles, c'est-à-dire telle que la multiplication 
et l'inverse 
soient des fonctions régulières.
Attention : 
est muni de la topologie de Zariski et non de la topologie produit. En particulier, un groupe algébrique n'est en général pas un groupe topologique.
Par exemple, les groupes finis, GLn(K), les courbes elliptiques sont des groupes algébriques.
Deux classes de groupes algébriques sont particulièrement étudiées. Tout d'abord, les variétés abéliennes sont des groupes algébriques pour lesquelles la variété sous-jacente est complète. Les courbe elliptique|courbes elliptiques sont des exemples de variétés abéliennes. Ensuite viennent les groupes algébriques linéaires : ceux-ci correspondent au cas où le groupe est une variété affine, autrement dit, où c'est le lieu des zéros d'une famille de polynômes dans ![K[X_1,\dots,X_n]](../../../math/8/f/b/8fb0fc6d41f2ead31891063330737834.png)
. Par exemple, SLn(K) est l'ensemble des zéros du polynôme det − 1.
On peut montrer que les groupes algébriques linéaires peuvent être représentés fidèlement. Ainsi, ils peuvent toujours être vus comme des sous-groupes de GLn(K), ce qui explique leur appellation.
