Gamme naturelle
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Vous avez de Cet article expose la théorie des gammes dites « naturelles » in extenso. Pour une présentation simplifiée et de synthèse, voir l'article Gammes et tempéraments qui donne aussi une vue d'ensemble des gammes de la musique occidentale.
Sommaire |
[modifier] Introduction
Une gamme naturelle est une gamme musicale fondée sur le choix d'harmoniques simples du son fondamental (ou tonique). Du fait de cette définition, on parle aussi de gamme des physiciens.
Il ne fait pas de doute que les phénomènes de consonance ont été identifiés par les premiers musiciens avant que les mathématiciens n'en élaborent une théorie. Les premières gammes naturelles, créées de façon empirique, ont donc certainement précédé de très longtemps la gamme pythagoricienne, édifice algébrique assez complexe.
La gamme pythagoricienne est construite à partir d'un harmonique particulier, la quinte, puis par des montées successives de quintes le nombre de fois nécessaires pour parcourir une octave complète.
Il est à remarquer que les sons obtenus par cette méthode sont des harmoniques de plus en plus complexes du son fondamental. On a vu aussi que cette méthode ne permet pas de retrouver directement la quarte qui est pourtant un harmonique très simple (4/3) de celle-ci (et complément obligatoire de la quinte).
La gamme pythagoricienne, d'ailleurs, résultat de spéculations théoriques remarquables, n'est pas sans défauts :
- le problème du comma, résolu faute de mieux par la « quinte du Loup», interdit certaines combinaisons de notes et certaines modulations ;
- certains intervalles très intuitifs, et particulièrement la tierce majeure (DO-MI) ne sont pas générés de façon parfaite, et sonnent, en réalité, assez faux.
D'où les tentatives des théoriciens pour mettre en œuvre d'autres méthodes, basées sur d'autres considérations.
[modifier] Les sons harmoniques ou partiels
Un son musical invariable continu résulte de la superposition (ou combinaison) d'un son simple et de ses sons harmoniques dont les fréquences sont des multiples entiers de sa propre fréquence. On appelle le seconde harmonique le son de fréquence double, troisième le son de fréquence triple etc. On appelle sons partiels des sons plus aigus que l'on peut entendre ou extraire par analyse lorsqu'un instrument émet un son, et qui sont très proches des sons harmoniques.
Si l'on part du DO 0 en prenant sa fréquence comme unité :
- partiel n°1 : fréquence 1 (=DO 0)
- partiel n°2 : fréquence 2 (=DO 1)
- partiel n°3 : fréquence 3 (=SOL 1)
- partiel n°4 : fréquence 4 (=DO 2)
- partiel n°5 : fréquence 5 (=MI 2, tierce pure)
- partiel n°6 : fréquence 6 (=SOL 2)
- partiel n°7 : fréquence 7
- partiel n°8 : fréquence 8 (=DO 3)
- partiel n°9 : fréquence 9 (=RE 3)
- partiel n°10 : fréquence 10 (=MI 3, tierce pure)
- partiel n°11 : fréquence 11
- partiel n°12 : fréquence 12 (=SOL 3)
- partiel n°13 : fréquence 13
- partiel n°14 : fréquence 14
- partiel n°15 : fréquence 15
- partiel n°16 : fréquence 16 (=DO 4)
etc.
Les noms des notes ci-dessus correspondent aux hauteurs définies dans la gamme de Pythagore sauf pour les MI. Comme on le voit, la note SOL est un harmonique de la note DO, mais pas de celle qui la précède dans son octave : DO 0 pour SOL 1, DO 1 pour SOL 2 etc. Donc l'intervalle de quinte (rapport 3/2) relie deux notes — DO 1 et SOL 1 par exemple — dont la plus aiguë n'est pas un harmonique de la plus grave ; cependant les deux sont des harmoniques d'une même troisième note plus grave. C'est donc par un abus de langage, qu'autorise le principe de l'équivalence des octaves, que l'on peut énoncer que SOL est un harmonique de DO. C'est aussi par commodité que, de même, on considèrera dans ce qui suit comme en rapport harmonique des sons dont les fréquences relatives sont en rapport rationnel l'une par rapport à l'autre : il existe alors une note suffisamment grave (mais peut-être inaudible !) dont elles sont toutes deux de vrais partiels.
[modifier] La théorie
La construction des gammes dites « naturelles » va consister à diviser l'octave, de la manière la plus régulière possible, en utilisant pour intervalles les rapports rationnels (au sens mathématique de ce terme) les plus simples possibles.
Il existe une infinité de rapports de type n/m (n et m étant des nombres entiers représentants des fréquences) donnant des valeurs comprises entre 1 (la tonique ou fondamentale) et 2 (l'octave). Il va donc falloir choisir, dans cet ensemble infini de possibilités, les rapports les plus appropriés, ce qui peut se faire par la pure intuition ou en se fixant des règles a priori.
Les nombres sept (notes diatoniques) et douze (notes chromatiques) dégagés par la gamme de Pythagore — chronologiquement la première théorie consistante de division de l'octave — ont été de façon plus ou moins consciente des nombres à retrouver dans l'établissement des gammes naturelles : le hasard y a effectivement pourvu...
En introduisant « de force » l'intervalle de quarte dans la gamme pythagoricienne, celle-ci comprend notamment les intervalles 2/1 (octave), 3/2 (quinte), 4/3 (quarte) et 9/8 (ton majeur), tous de la forme (n+1)/n.
Après la quarte et avant le ton majeur, cette forme algébrique nous donnerait 5/4 (=1,25), 6/5 (= 1,2), 7/6 (1,166666?) et 8/7 (=1,142857?).
Les deux premiers sont particulièrement simples, acoustiquement ils sonnent bien avec la fondamentale et ils sont très proches de certains intervalles de la gamme pythagoricienne, ceux que nous avons désignés par I4 (= 1,265625) et I9 (=1,201354). Enfin, puisque (5/4) x (6/5) = 6/4 = 3/2, on voit que leur addition donne une quinte. Ces intervalles, respectivement nommés « tierce majeure » et « tierce mineure » vont jouer un rôle de premier plan, avec l'octave et la quinte, dans la construction des gammes naturelles, qui ont de nombreuses variantes.
On appelle comma syntonique l'intervalle existant entre la tierce majeure « pure » (5/4 = 1,25) et la tierce pythagoricienne (34/26 = 1, 265625) : sa valeur est 81/80, soit 1,0125, légèrement inférieure au comma pythagoricien.
Gioseffo Zarlino (1517–1590) élabore une des multiples gammes naturelles possibles en reconnaissant une place importante à l'intervalle de tierce « pure ».
Pour construire la gamme de Zarlino, nous allons exprimer les intervalles recherchés en fonction « pythagoricienne » de la tierce majeure puis appliquerons la formule obtenue à la tierce majeure « pure » (5/4).
| Fondamentale | DO 1 |
| Ton majeur | RÉ 9/8 (deux quintes pures transposées d’une octave : 3/2 × 3/2 ÷ 2) |
| Tierce mineure | MI♭ 6/5 |
| Tierce majeure | MI 5/4 (vaut 81/64, soit 4 quintes, selon Pythagore) |
| Quarte | FA 4/3 |
| Quinte | SOL 3/2 |
| Sixte (majeure) | à déterminer (vaut 27/16, soit 3 quintes, selon Pythagore) |
| Septième (majeure) | SI à déterminer (vaut 243/128, soit 5 quintes, selon Pythagore) |
| Octave | DO 2 |
Selon Pythagore, la sixte (27/16) est l'addition d'une tierce majeure (81/64) et d'une quarte (4/3) puisque 27/16 = (81/64) x (4/3).
- Appliquons cette formule pour Zarlino : la sixte vaut (5/4) x (4/3) = 5/3.
Selon Pythagore, la septième (243/128) est l'addition d'une tierce majeure (81/64) et d'une quinte (3/2) puisque 243/128 = (81/64) x (3/2).
- Appliquons cette formule pour Zarlino : la septième vaut (5/4) x (3/2) = 15/8.
Selon Pythagore, le ton majeur est la moitié de la tierce majeure car (9/8)2 = 81/64. Nous ne pouvons faire en sorte que (9/8)2 = 5/4 et devons donc remplacer un ton majeur par un ton mineur tel que ton mineur x (9/8) = 5/4. Le ton mineur (intervalle RÉ-MI) vaut donc 10/9.
Les autres intervalles se calculent de façon analogue, en déterminant, selon la gamme de Pythagore, une formule à base d'additions ou soustractions de tierces (T), quintes (Q) et octaves (O) donnant le résultat correct, puis en remplaçant dans cette formule la valeur de la tierce pythagoricienne par celle de la tierce pure. Nous traiterons, à titre d'illustration, les notes DO♯ et RE♯, avec un symbolisme simplifié que l'on interprètera aisément :
- DO♯(P) = 2087/2048 = 2T-Q d'où DO♯(Z) = 25/24
- RE♯(P) = 19683/16384 = 2T + Q - O d'où RÉ♯(Z) = 75/64
etc.
| Fondamentale | DO | 1 |
| Demi-ton chromatique | DO♯ | 25/24 |
| Demi-ton diatonique | RÉ♭ | 16/15 |
| Ton majeur | RÉ | 9/8 |
| Seconde augmentée | RÉ♯ | 75/64 |
| Tierce mineure | MI♭ | 6/5 |
| Tierce majeure | MI | 5/4 |
| Tierce augmentée | MI♯ | 125/96 |
| Quarte diminuée | FA♭ | 32/25 |
| Quarte | FA | 4/3 |
| Quarte augmentée | FA♯ | 45/32 |
| Quinte diminuée | SOL♭ | 64/45 |
| Quinte | SOL | 3/2 |
| Quinte augmentée | SOL♯ | 25/16 |
| Sixte mineure | LA♭ | 8/5 |
| Sixte majeure | LA | 5/3 |
| Sixte augmentée | LA♯ | 225/128 |
| Septième mineure | SI♭ | 9/5 |
| Septième majeure | SI | 15/8 |
| Septième augmentée | SI♯ | 125/64 |
| Octave diminuée | DO♭ | 48/25 |
| Octave | DO | 2 |
Certaines notes, qui peuvent paraître inutiles (exemples : MI♯, DO♭ etc.) trouvent leur utilisation dans l'élaboration des modes musicaux et pour la modulation.
La gamme de Zarlino n'est pas la seule gamme « naturelle » envisageable : Par exemple, Zarlino n'a pas inclut, dans sa gamme, de rapports harmoniques comportant le chiffre 7 (premier nombre premier après 2, 3 et 5), car à son époque, on commencait seulement à s'interesser physiquement à la justesse des tierces. Pour exemple, un FA♯ fondé sur le rapport 7/5 (soit 1,4) est un rapport harmonique beaucoup plus simple que les rapports approchant, déduits de Pythagore (729/512), et de Zarlino (45/32). Par la suite, d'autres théoriciens ont proposé leur propre système, sans qu'aucun puisse vraiment présenter d'avantages décisifs.
Après avoir déterminé ces intervalles, on peut vérifier les valeurs des différentes tierces et quintes de la gamme de Zarlino :
- les tierces sont toutes justes (rapport de fréquences = 5/4) sauf la tierce SOL♭-SI♭ dont le rapport est 81/64, légèrement supérieur ;
- les quintes sont justes (rapport de fréquences = 3/2) sauf trois d'entre elles (rapport 40/27) qui ne le sont pas (valeur inférieure) : RE-LA, FA♯-DO♯, SI♭-FA.
Par ailleurs, il faut se souvenir que dans cette gamme, il y a un ton majeur et un ton mineur de valeurs différentes. On appelle comma zarlinien l'intervalle entre ces deux tons : il vaut 81/80 soit 1,0125 ; c'est le comma syntonique.
La succession des 7 intervalles constituant une octave est la suivante :
- ton majeur
- ton mineur
- 1/2 ton diatonique
- ton majeur
- ton mineur
- ton majeur
- 1/2 ton diatonique
Ce qui précède montre que la gamme de Zarlino ne peut être utilisée dans la pratique lorsqu'on doit transposer ou moduler.
- Prenons l'exemple très simple de la transposition de do majeur à sol majeur. L'intervalle DO-RE dans la première tonalité a pour correspondant l'intervalle SOL-LA dans la seconde, or DO-RE est un ton majeur, et SOL-LA un ton mineur.
Les autres gammes naturelles ont des inconvénients analogues
Comme pour la gamme de Pythagore, ces problèmes musicaux ont incité les théoriciens à envisager de nouveaux principes de division de l'octave.
[modifier] Tableau de synthèse
[modifier] Voir aussi
[modifier] Articles en relation
[modifier] Autres articles
[modifier] Liens externes
[modifier] Bibliographie et sources
- Devie Dominique : Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique, Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).
- Moreno Andreatta : "Méthodes algébriques en musique et musicologie du XXe siècle : aspects théoriques, analytiques et compositionnels", thèse, EHESS/IRCAM, 2003 (disponible en ligne à l’adresse: http://www.ircam.fr/equipes/repmus/moreno/).
- Edith Weber : La résonance dans les échelles musicales, révision d’Edmond Costère, Revue de musicologie, T.51, N°2 (1965), pp. 241-243 - doi:10.2307/927346
- Edmond Costère : Lois et styles des harmonies musicales, Paris, PUF, 1954.
- Edmond Costère : Mort ou transfiguration de l’harmonie, Paris, PUF, 1962.
- Franck Jedrzejewski : Mathématiques des systèmes acoustiques. Tempéraments et modèles contemporains, L’Harmattan, 2002.
- Guerino Mazzola : "The Topos Geometry of Musical Logic" (dans Gérard Assayag et al. (éd.) Mathematics and Music, Springer, 2002, pp. 199-213).
- Guerino Mazzola : The Topos of Music, Birkhäuser Verlag, Basel, 2003.
- François Nicolas : "Quand l’algèbre mathématique aide à penser (et pas seulement à calculer) la combinatoire musicale", Séminaire, Ircam, février 2003 (disponible en ligne à l’adresse : http://www.entretemps.asso.fr/Nicolas/TextesNic/mamux.html).
- E. Lluis-Puebla, G. Mazzola et T. Noll (éd.), Perspectives of Mathematical and Computer-Aided Music Theory, EpOs, Université d’Osnabrück, 2004.
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