Fibration

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En topologie différentielle, une fibration est un ensemble $(E, X, \Pi, F, G) \,$ où :

$E$ est un espace topologique, appelé espace fibré (parfois également : espace total). C'est intuitivement un espace qui est localement le produit de deux espaces, mais en général pas globalement.

$X$ est un espace topologique appelé espace de base.

$Π$ est une projection de $E$ vers $X$ . Elle est parfois appelée pied.

$F$ est un espace topologique appelé fibre.

$G$ est un groupe d'homéomorphismes agissant sur la fibre $F$ .

Sommaire

1 Trivialisation locale
2 Action du groupe de structure
3 Fibré différentiel
4 Articles connexes
5 Bibliographie
- 5.1 Ouvrages de mathématiques pour physiciens théoriciens
6 Notes

[modifier] Trivialisation locale

Pour mettre en évidence le caractère localement trivial du fibré $E$ , on suppose que l'espace de base $X$ admet un recouvrement par des ouverts $U α$ muni d'un système de coordonnées. Plus précisément, à chaque ouvert $U α$ est associé un homéomorphisme $φ α$ :

$\phi_{\alpha} \ : \quad \Pi^{-1} ( U_{\alpha}) \ \to \ U_{\alpha} \ \times \ F$

dont l'inverse $\phi_{\alpha}^{-1}$ vérifie :

$\forall \ x \, \in \, U_{\alpha} \ , \ \forall \ f \, \in \, F \ , \quad (\Pi \circ \phi_{\alpha}^{-1})(x,f) \ = \ x$

[modifier] Action du groupe de structure

L'action du groupe $G$ est mise en évidence lors d'un changement de coordonnées. Effectuer un tel changement de coordonnées consiste à passer de la collection initiale $(φ α, U α)$ à un nouveau système $(φ β, U β)$ .

Considérons alors deux ouverts $U α$ et $U β$ , appartenants respectivement à la première et à la seconde collection, dont l'intersection est non-vide : $U_{\alpha} \cap U_{\beta} \ne \emptyset$ . Alors, l'application composée $\phi_{\alpha} \circ \phi_{\beta}^{-1}$ est une application continue inversible :

$\phi_{\alpha} \circ \phi_{\beta}^{-1} \ : \quad (U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \ \times \ F \ \to \ (U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \ \times \ F$

Si l'on fixe $x \in U_{\alpha} \cap U_{\beta}$ et qu'on fait varier seulement $f \in F$ , l'application précédente se réduit à un homéomorphisme de $F$ dans $F$ . Elle est alors appelée fonction de transition, notée $g αβ (x)$ :

$g_{\alpha \beta}(x) \ : \quad F \ \to \ F$

telle que :

$[ g_{\alpha \beta}(x)](f) \ = \ (\phi_{\alpha} \circ \phi_{\beta}^{-1} )(x,f)$

L'ensemble de tous ces homéomorphismes $g αβ (x)$ pour tous les choix possibles de systèmes de coordonnées $(φ α, U α)$ forme un groupe, qui est précisément le groupe $G$ de la définition du fibré.

[modifier] Fibré différentiel

Un fibré différentiel est une fibration $(E, X,Π, F, G)$ où les trois espaces $(E, X, F)$ sont des variétés différentielles.

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[modifier] Articles connexes

[modifier] Bibliographie

Boris Doubrovine, Sergueï Novikov & Anatoli Fomenko ; Géométrie contemporaine - Méthodes & applications - Deuxième partie : Géométrie et topologie des variétés, Mir (1982).

[modifier] Ouvrages de mathématiques pour physiciens théoriciens

Theodore Frenkel ; The Geometry of Physics - An introduction, Cambridge University Press (1997), ISBN 0-521-38753-1.

Mikio Nakahara ; Geometry, Topology ans Physics, Institute of Physics Publishing (1990), ISBN 0-85274-095-6.

Charles Nash & Siddharta Sen ; Topology & Geometry for Physicists, Academic Press (1983), ISBN 0-12-514080-0.

Yvonne Choquet-Bruhat & Cécile deWitt-Morette ; Analysis, Manifolds & Physics - Part I: Basics, North-Holland/Elsevier (2ème édition révisée - 1982), ISBN 0-444-86017-7.