Axiome de l'infini

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En théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de l'infini est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Il énonce qu'il existe un ensemble infini.

Dans le langage formel de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, l'axiome s'écrit:

ou en d'autres termes: il existe un ensemble ω; tel que l'ensemble vide appartienne à ω et tel que toutes les fois où x est un élément de ω, l'ensemble formé en prenant l'union de x avec son singleton {x} est également un élément de ω.

Pour comprendre cet axiome, appelons tout d'abord le successeur de x. Notons que l'axiome de la paire et l'Axiome d'extensionnalité nous permettent de construire le singleton {x}, et l'axiome de la réunion nous sert à former l'union. Les successeurs sont utilisés pour définir et coder les entiers dans la théorie des nombres entiers naturels. Dans le codage des entiers, zéro est l'ensemble vide , et 1 est le successeur de 0 :

De même, 2 est le successeur de 1:

et ainsi de suite. Une conséquence de cette définition est que chaque nombre entier est égal à l'ensemble de tous les nombres entiers qui le précèdent. Nous pourrions envisager de former, en utilisant ce procédé, l'ensemble de tous les nombres entiers naturels; mais il s'avère qu'en utilisant seulement ces axiomes la construction est impossible. L'axiome de l'infini assure l'existence de cet ensemble ω et il le définit par une méthode semblable à celle du raisonnement par récurrence, en supposant d'abord que ω contient zéro, puis en imposant que le successeur d'un quelconque élément de ω soit également dans ω.

Cet ensemble peut contenir d'autres éléments que les nombres entiers naturels (qui forment un sous-ensemble de ce premier), mais nous pouvons appliquer le schéma d'axiome de séparation pour retirer les éléments indésirables, libérant l'ensemble ω de tous les nombres entiers naturels. Cet ensemble est unique d'après l'axiome d'extensionnalité. Ainsi l'axiome affirme essentiellement que:

Il existe un ensemble contenant tous les nombres entiers naturels.

L'axiome de l'infini est également l'un des axiomes de von Neumann-Bernays-Gödel.