Amortissement (physique)

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L'amortissement est l'effet engendré par l'entrée d'un système, qui tend à s'opposer aux variations de la sortie du système.

Sommaire

1 Explication
2 Exemple : Masse-Ressort-Amortisseur
- 2.1 Equation Différentielle Ordinaire
- 2.2 Régime transitoire du système
3 Voir aussi
- 3.1 Liens internes

[modifier] Explication

En mécanique, l'amortissement désigne la force proportionnelle à la vitesse du corps. En électricité, l'amortissement désigne l'effet résistif d'un circuit RLC. En général, tout effet qui ne conserve pas l'énergie totale d'un système est dissipatif, et peut donc être considéré comme un amortissement. On définit le coefficient d'amortissement c par :

$\bold{F} = - c \bold{v}$

[modifier] Exemple : Masse-Ressort-Amortisseur

Etudions un système idéal Masse-Ressort-Amortisseur, avec une masse m, une constante de raideur k, et un coefficient d'amortissement c :

$\bold{F_r} = - k \bold{x}$

$\bold{F_a} = - c \frac{d\bold{x}}{dt}$

La masse est un corps libre. On suppose le repère inertiel donc la premier vecteur est parallèle au ressort et à l'amortisseur. D'après la conservation de la quantité de mouvement :

$\bold{F_r} + \bold{F_a} = m \frac{d^2\bold{x}}{dt}$

$- k x - c \frac{dx}{dt} = m \frac{d^2x}{dt}$

[modifier] Equation Différentielle Ordinaire

C'est une équation différentielle ordinaire du second ordre. Elle est linéaire, homogène et à coefficients constants : $m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + k x = 0$

Afin de simplifier l'équation, nous définissons deux paramètres :

La pulsation naturelle du système : $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Le facteur d'amortissement : $\zeta = \frac{c}{2\sqrt{k m}}$

Ainsi, l'équation différentielle devient :

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \zeta \omega_0 \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0$

On résoud le polynôme caractéristique :

$\lambda^2 + 2 \zeta \omega_0 \lambda + \omega_0^2$

D'où $\lambda = \omega_0( - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1})$

[modifier] Régime transitoire du système

Le comportement du système dépend de la pseudo-pulsation propre, et du facteur d'amortissement. En particulier, il dépend fortement de la nature de $λ$ .

[modifier] Régime pseudo-périodique

$ζ < 1$ , Les racines $λ$ sont complexes et conjugués. La solution est la somme de deux exponentielles complexes :

$x(t) = Ae^{\lambda_1 t} + Be^{\lambda_2 t}$

$x(t) = Ae^{ - \omega_0( \zeta - j\sqrt{1 - \zeta^2}) t} + Be^{ - \omega_0( \zeta + j\sqrt{1 - \zeta^2}) t}$

On peut réécrire la solution sous une forme trigonométrique :

$x(t) = e^{ - \frac{t}{\tau}}[Acos(\omega_d t) + Bsin(\omega_d t)]$

où $\tau = \frac{c}{2m}$ est la constante de temps du système, et $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$ est la pseudo-pulsation propre du système. On remarque qu'elle est toujours strictement supérieure à la pulsation naturelle.