Équation cubique
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y = x3/4 + 3x2/4 − 3x/2 − 2
Une équation polynomiale de degré 3, dite « cubique », est de la forme ax3 + bx2 + cx + d = 0 où a, b, c et d sont des coefficients réels ou complexes, a non nul.
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[modifier] Historique
Les équations cubiques se posaient chez les Grecs vers 300 avant Jésus-Christ. Ils les auraient résolues géométriquement, par intersection de coniques (ellipses, paraboles et hyperboles).
Puis c’est Omar Khayyâm, originaire de Perse, qui, dans son traité d'algèbre (1074), étudie les équations cubiques à coefficients strictement positifs. À l’instar des Grecs, il utilise la géométrie. Sharaf ad Din at Tusi classe un siècle plus tard les équations cubiques suivant l'existence de racines strictement positives et non pas comme Omar Khayyâm qui suivait le signe des coefficients.
Scipione del Ferro (1465-1526), professeur à Bologne, découvre la résolution algébrique des équations cubiques à coefficients positifs de type x³ = px + q et x³ + q = px. Del Ferro ne publie pas ses résultats, mais les révélera avant sa mort à Antonio Maria Fior, son élève.
Quelques décennies plus tard, Niccolo Fontana (Tartaglia) résout plusieurs équations de ce type. En 1535, Fior, qui n’était alors plus le seul à savoir résoudre ces équations, lance à Tartaglia un défi public sous la forme d’un concours qui portait sur la résolution de trente équations de type x³ + px = q. Tartaglia, lui, résout les trente proposées. Par contre, Fior qui n’en avait résolu aucune de ce type, ne put touver une seule réponse et Tartaglia gagna le défi. Ce ne fut d’ailleurs que pour l’honneur, puisque Tartaglia renonça au prix de trente banquets successifs !
Jérôme Cardan se passionne lui pour les équations cubiques à partir de 1539. Il invite Tartaglia chez lui et lui demande de lui révéler sa méthode contre une forte somme, tout en lui promettant qu’il ne la dévoilera pas. Tartaglia révèle alors la méthode à Cardan. Seulement Cardan apprend ensuite que del Ferro aurait trouvé certaines solutions bien avant Tartaglia et, se sentant trompé, il revient alors sur sa promesse et publie les résultats dans le livre Ars magna (1545) tout en s’en appropriant la découverte. Bien entendu, Tartaglia n’est pas de cet avis et une violente dispute s’ensuit entre Tartaglia et Cardan.
Raphaël Bombelli trouvera ensuite toutes les solutions à toutes les équations cubiques (donc avec coefficients négatifs) en introduisant de nouveaux nombres : les nombres négatifs et les nombres imaginaires (nombres complexes).
Mais c'est Euler qui éclaircira la détermination des trois racines d’une équation cubique dans un article en latin (1732).
