Derdegraadsvergelijking

Een derdegraadsvergelijking is een vergelijking die herleid kan worden tot de vorm $a x 3 + b x 2 + c x + d = 0$ waarin a, b, c en d constanten zijn (reëel of complex en a niet gelijk is aan 0). Het oplossen van vergelijkingen van dit type bleek wezenlijk moeilijker te zijn dan het oplossen van kwadratische vergelijkingen, waarvoor al in de oudheid een algemene oplossing gevonden is (al werd dan alleen naar positieve oplossingen gezocht). De Italiaan Niccolo Fontana Tartaglia was de eerste die een algemene formule vond voor de oplossingen van de derdegraadsvergelijking.

[bewerk] Voorbeelden

Zoek een reëel getal $x$ waarvoor $x 3 + 1 = 0$ . De enige oplossing van dit probleem luidt $x = - 1$
Zoek een geheel getal $x$ waarvoor $x 3 + x 2 + x = 0$ . De enige oplossing van dit probleem luidt $x = 0$ . Als we de voorwaarde "geheel" vervangen door "complex" zijn er nog twee andere oplossingen, namelijk $x={-1+i\sqrt{3}\over2}$ en $x={-1-i\sqrt{3}\over2}$
Zoek een reëel getal x waarvoor $x 3 + x 2 + 1 = 0$ . Deze vergelijking heeft precies één oplossing. Als we de voorwaarde "reëel" vervangen door "geheel", is er geen enkele oplossing.

[bewerk] Oplosbaarheid

Elke derdegraadsvergelijking met reële coëfficiënten heeft minstens één reële oplossing.

Elke derdegraadsvergelijking met complexe coëfficiënten heeft drie complexe oplossingen, waarbij we "samenvallende" oplossingen meermaals laten meetellen (hoofdstelling van de algebra).

De algemene derdegraadsvergelijking zoekt naar een formule om $x$ uit te drukken in termen van abstracte constanten $a$ , $b$ , $c$ en $d$ zodat na substitutie van $x$ de volgende gelijkheid van veeltermen in $a$ , $b$ , $c$ en $d$ geldt:

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0

[bewerk] Aantal reële oplossingen

Het precieze aantal reële oplossingen van een derdegraadsvergelijking met reële coëfficiënten kan eenvoudig worden bepaald zonder de oplossingen zelf uit te rekenen. Elke derdegraadsvergelijking kan door een geschikte lineaire substitutie worden gereduceerd tot de algemene vorm z³+pz+q=0.

Deze derdegraadsvergelijking heeft twee samenvallende wortels als ze een gemeenschappelijk nulpunt heeft met haar eerste afgeleide, d.w.z. als er een reëel getal z bestaat dat voldoet aan

z 3 + p z + q = 0

3 z 2 + p = 0

Deze vergelijkingen bepalen een kromme in het (p,q)-vlak, geparametriseerd door z. Deze kromme is doornvormig met een singulier punt in z=0. Ze verdeelt het vlak in twee gebieden. Uit eliminatie van de parameter volgt

4 p 3 + 27 q 2 = 0

De grootheid 4p³+27q² heet de discriminant van de vergelijking. Als de discriminant strikt positief is, dan heeft de vergelijking precies één reële wortel. Is hij strikt negatief, dan zijn er precies drie verschillende reële wortels.

[bewerk] Algemene oplossing

De volgende oplossing is afkomstig van Niccolo Fontana Tartaglia. We werken opnieuw met de gereduceerde vorm z³+pz+q=0. Als p=0 of q=0, dan is de oplossing triviaal. Als $p\neq0$ schrijven we de onbekende $z$ als som van twee nieuwe onbekenden: $z = u + v$ , en de vergelijking herleidt zich tot

$u 3 + v 3 + q + (3 u v + p)(u + v) = 0.$

Men vindt een oplossing door afzonderlijk $u 3 + v 3 + q = 0$ en $3 u v + p = 0$ te stellen. (Het laatste mag omdat u en v afhankelijk zijn.) De tweede vergelijking herschrijven we als $u = - p / 3 v$ (dit mag, want $v = u = 0$ is toch geen oplossing) en we substitueren haar in de eerste vergelijking, wat een kwadratische vergelijking in $v 3$ oplevert:

(v 3) 2 + q . v 3 - p 3 / 27 = 0

Niet toevallig is de discriminant van deze kwadratische vergelijking, op een numerieke constante na, gelijk aan de discriminant van de derdegraadsvergelijking.

De algemene oplossing van de kwadratische vergelijking leidt nu tot de oplossing van de derdegraadsvergelijking:

$v=\sqrt[3]{-q/2+\sqrt{q^2/4+p^3/27}},\ z=v-{p\over3v}$

[bewerk] Casus irreducibilis

Als de discriminant positief is, dan staat onder het derdemachtswortelteken in de algemene oplossing een reëel getal. De unieke reële derdemachtswortel van dit getal levert een welbepaalde v en dus een welbepaalde reële oplossing z op.

Er ontstaat een probleem wanneer de vergelijking drie verschillende reële wortels heeft (het irreducibele geval, ook bekend onder de Latijnse naam casus irreducibilis), omdat de discriminant van de hiervoor afgeleide kwadratische vergelijking dan negatief is. Dat betekent dat we de oplossing van Tartaglia weliswaar in gesloten vorm kunnen opschrijven, echter door gebruik te maken van berekeningen met complexe getallen.

In dat geval biedt de door Viète bedachte trigonometrische methode een alternatief. Daarbij wordt gebruikgemaakt van de identiteit

$4cos 3 (t) - 3cos(t) = cos(3 t)$ (1)

Substitieer x = rcos(t) en kies r zo dat (1) kan worden toegepast. Dan blijft een vergelijking in de vorm cos(3t) = c over, en die is eenvoudig op te lossen.

[bewerk] Numerieke oplossing

Voor het berekenen van een reële oplossing met een computer bestaan eenvoudiger methoden dan de hierboven beschreven algebraïsche oplossing. Beschouw de vergelijking

y = x³ + k.x² + s.x + p = 0

Iteratieve zoekmethode voor het bepalen van één reële wortel indien groter dan zijn complexe wortels.

Principe van de reeks :

F_n = k.F_n-1 + s.F_n-2 + p.F_n-3

F = k.C + s.B + p.A

"Werking"

Initiatie : A = 1 ■ B = 2 ■ C = 4
Ingave van k , s , p
Negatie : k = -k , s = -s , p = -p

"Label" : F = A.p + B.s + C.k

Display F/C
Re-initiatie : A = B , B = C , C = F
Terug naar "Label"

Noot :

Indien A = 1 en B = 1 en C = 1 is de zoektijd groter
Bij ingave van p = 0 bekomt men een wortel van een tweedegraadsvergekijking

De snijpunten/raakpunten van de orthogonale hyperbool x.y = p met de parabool y = x² + s.x + k genereert volgende reeksen :

F_n = k.F_n-1 + s.p.F_n-2 + p².F_n-3 en geeft volgende vergelijking : y³ - k.y² - s.p.y - p² met drie wortels y₁ , y₂ , y₃ (reëel en/of complex)