Vikipedio:Projekto matematiko/Diagonaligebla matrico

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Diagonaligebla matrico
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En lineara algebro, kvadrata matrico A estas (nomita, vokis) diagonaligebla se ĝi estas simila al diagonala matrico, kio estas se tie ekzistas inversigebla matrico P tia (tiu, ke, kiu) P^-1_AP_ estas diagonala matrico. Se V estas finidimensia vektora spaco, tiam lineara surĵeto T : V → V estas (nomita, vokis) diagonaligebla se tie ekzistas bazo de V kun respekto al kiu T estas (prezentita, prezentis) per diagonala matrico. Diagonaligo estas la procezo de trovanta (korespondanta, respektiva) diagonala matrico por diagonaligebla matrico aŭ lineara surĵeto.

Diagonaligeblaj matricoj kaj (mapoj, mapas) estas de (interezo, interesi) ĉar diagonalaj matricoj estas aparte facila al anso: ilia (ajgenoj, ajgenas) kaj (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) estas sciata kaj unu povas (altigi, relevi) diagonala matrico al povo per simple (altiganta, relevanta) la diagonalaj elementoj al (tiu, ke, kiu) sama povo.

La fundamenta fakto pri diagonaligebla (mapoj, mapas) kaj matricoj estas esprimita per jeno:

An n-per-n matrico A super la kampo F estas diagonaligebla se kaj nur se la (sumo, sumi) de la (dimensioj, dimensias) de ĝia (ajgenspacoj, ajgenspacas) estas egala al n, kiu estas la (kesto, okazo) se kaj nur se tie ekzistas bazo de Fⁿ konsistanta de (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) de A. Se tia bazo havas estas fundamenti, unu povas (formo, formi) la matrico P havanta ĉi tiuj bazvektoroj kiel kolumnoj, kaj P^-1_AP_ estos esti diagonala matrico. La diagonalaj elementoj de ĉi tiu matrico estas la (ajgenoj, ajgenas) de A.
A lineara surĵeto T : V → V estas diagonaligebla se kaj nur se la (sumo, sumi) de la (dimensioj, dimensias) de ĝia (ajgenspacoj, ajgenspacas) estas egala al krepuska(V), kiu estas la (kesto, okazo) se kaj nur se tie ekzistas bazo de V konsistanta de (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) de T. Kun respekto al tia bazo, T estos esti (prezentita, prezentis) per diagonala matrico. La diagonalaj elementoj de ĉi tiu matrico estas la (ajgenoj, ajgenas) de T.

Alia karakterizado: A matrico aŭ lineara surĵeto estas diagonaligebla super la kampo F se kaj nur se ĝia minimuma polinomo estas (produkto, produto) de klara lineara (faktoroj, faktoras) super F.

Jeno sufiĉa (sed ne necesa) kondiĉo estas ofte utila.

An n-per-n matrico A estas diagonaligebla super la kampo F se ĝi havas n klara (ajgenoj, ajgenas) en F, kio estas se ĝia karakteriza polinomo havas n klara (radikoj, radikas) en F.
A lineara surĵeto T : V → V kun n=krepuska(V) estas diagonaligebla se ĝi havas n klara (ajgenoj, ajgenas), kio estas se ĝia karakteriza polinomo havas n klara (radikoj, radikas) en F.

Kiel regulo de thumb, super C preskaŭ ĉiu matrico estas diagonaligebla. Pli detale: la aro de komplekso n-per-n matricoj (tiu, ke, kiu) estas ne diagonaligebla super C, (konsiderita, konsideris) kiel subaro de C^n×n, estas nula aro kun respekto al la Lebega mezuro. Unu povas ankaŭ diri (tiu, ke, kiu) la diagonaligeblaj matricoj (formo, formi) densa subaro kun respekto al la Topologio de Zariski: la komplemento (mensogoj, mensogas, kuŝas) ene la aro kie la diskriminanto de la karakteriza polinomo _vanishes_, kiu estas _hypersurface_. De (tiu, ke, kiu) sekvas ankaŭ denseco en la kutima (forta) topologio donita per normo.

La sama estas ne vera super R. Kiel n (multigas, pligrandiĝoj, pligrandiĝas), ĝi iĝas (iusence) malpli kaj malpli verŝajna (tiu, ke, kiu) hazarde (apartigis, elektita, elektis) (reala, reela) matrico estas diagonaligebla super R.

Enhavo

1 (Ekzemploj, Ekzemplas)
- 1.1 Kiel al _diagonalize_ matrico
- 1.2 Matricoj (tiu, ke, kiu) estas ne diagonaligebla
2 An apliko
3 Vidi ankaŭ
4 Ekstera (ligoj, ligas)
5 Referencoj

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

[redaktu] Kiel al _diagonalize_ matrico

Konsideri matrico

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{bmatrix}$

Ĉi tiu matrico havas (ajgenoj, ajgenas)

$\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1.$

(Do, Tiel) A estas 3-per-3 matrico kun 3 malsama (ajgenoj, ajgenas), pro tia ĝi estas diagonaligebla.

Se ni bezono al _diagonalize_ A, ni (bezoni, bezono, necesa) al komputi la (korespondanta, respektiva) (ajgenvektoroj, ajgenvektoras). Ili estas

$v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad v_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}.$

Unu povas facile kontroli (tiu, ke, kiu) $A v k = λ k v k$ .

Nun, estu P esti la matrico kun ĉi tiuj (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) kiel ĝiaj kolumnoj:

$P= \begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}.$

Tiam P _diagonalizes_ A, kiel simpla kalkulado (konfirmas, jesigas):

$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.$

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la (ajgenoj, ajgenas) $λ k$ aperi en la diagonala matrico.

[redaktu] Matricoj (tiu, ke, kiu) estas ne diagonaligebla

Iu (reala, reela) matricoj estas ne diagonaligebla super la reelaj nombroj. Konsideri ekzemple la matrico

$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}.$

La matrico B ne havi (ĉiu, iu) (reala, reela) (ajgenoj, ajgenas), (do, tiel) estas ne (reala, reela) matrico Q tia (tiu, ke, kiu) $Q - 1 B Q$ estas diagonala matrico. Tamen, ni povas _diagonalize_ B se ni permesi kompleksaj nombroj. Ja, se ni preni

$Q = \begin{bmatrix} 1 & \textrm{i} \\ \textrm{i} & 1 \end{bmatrix},$

tiam $Q - 1 B Q$ estas diagonalo.

Tamen, estas ankaŭ matricoj (tiu, ke, kiu) estas ne diagonaligebla, eĉ se kompleksaj nombroj estas uzitaj. Ĉi tiu okazas se la geometria kaj algebra (oblecoj, oblecas) de (ajgenoj, ajgenas) ne koincidi. Ekzemple, konsideri

$C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$

Ĉi tiu matrico estas ne diagonaligebla: estas ne matrico U tia (tiu, ke, kiu) $U - 1 C U$ estas diagonala matrico. Ja, C havas unu ajgeno (nome nulo) kaj ĉi tiu ajgeno havas algebra obleco 2 kaj geometria obleco 1.

[redaktu] An apliko

Diagonaligo povas esti uzita al komputi la (potencoj, potencas, kardinaloj, kardinalas, povoj, povas) de matrico A kompetente, provizis la matrico estas diagonaligebla. Supozi ni havi fundamenti (tiu, ke, kiu)

P - 1 A P = D

estas diagonala matrico. Tiam

A k = (P D P - 1) k = P D k P - 1

kaj la lasta estas facila al kalkuli ekde ĝi nur engaĝas la (potencoj, potencas, kardinaloj, kardinalas, povoj, povas) de diagonala matrico.

Ekzemple, konsideri jena matrico:

$M =\begin{bmatrix}a & b-a \\ 0 &b \end{bmatrix}.$

Kalkulanta la diversaj (potencoj, potencas, kardinaloj, kardinalas, povoj, povas) de M (senvualigas, rivelas) surprizanta ŝablono:

$M^2 = \begin{bmatrix}a^2 & b^2-a^2 \\ 0 &b^2 \end{bmatrix},\quad M^3 = \begin{bmatrix}a^3 & b^3-a^3 \\ 0 &b^3 \end{bmatrix},\quad M^4 = \begin{bmatrix}a^4 & b^4-a^4 \\ 0 &b^4 \end{bmatrix},\quad \ldots$

La pli supre fenomeno povas esti eksplikita per _diagonalizing_ M. Al atingi ĉi tiu, ni (bezoni, bezono, necesa) bazo de R² konsistanta de (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) de M. Unu tia ajgenvektora bazo estas donita per

$\mathbf{u}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\mathbf{e}_1,\quad \mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2,$

kie e_mi signifas la norma bazo de Rⁿ. La dorsflanka ŝanĝo de bazo estas donita per

$\mathbf{e}_1 = \mathbf{u},\qquad \mathbf{e}_2 = \mathbf{v}-\mathbf{u}.$

Simplaj kalkuloj montri (tiu, ke, kiu)

$M\mathbf{u} = a\mathbf{u},\qquad M\mathbf{v}=b\mathbf{v}.$

Tial, a kaj b estas la (ajgenoj, ajgenas) (korespondanta, respektiva) al u kaj v, respektive. Per lineareco de matrica multipliko, ni havi (tiu, ke, kiu)

$M^n \mathbf{u} = a^n\, \mathbf{u},\qquad M^n \mathbf{v}=b^n\,\mathbf{v}.$

(Verganta, Reŝaltanta) dorso al la norma bazo, ni havi

$M^n \mathbf{e}_1 = M^n \mathbf{u} = a^n \mathbf{e}_1,$

$M^n \mathbf{e}_2 = M^n (\mathbf{v}-\mathbf{u}) = b^n \mathbf{v} - a^n\mathbf{u} = (b^n-a^n) \mathbf{e}_1+b^n\mathbf{e}_2.$

La antaŭvenantaj rilatoj, esprimita en matrico (formo, formi), estas

$M^n = \begin{bmatrix}a^n & b^n-a^n \\ 0 &b^n \end{bmatrix},$

per tio eksplikanta la pli supre fenomeno.

[redaktu] Vidi ankaŭ

(Jordanio, Jordano, Jordan) (formo, formi)
Krustado (geometrio)

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Referencoj

_Roger_ A. Korno kaj Karlo R. _Johnson_, Matrica Analitiko, Ĉapitro 1, Kembriĝo (Britio) Universitato Premi, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (_hardback_), ISBN 0-521-38632-2 (broŝuro).

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Diagonaligebla_matrico_b0b6.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Matricoj