Satz vom ausgeschlossenen Dritten
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[Bearbeiten] Logik
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (lat. tertium non datur, wörtlich: Ein Drittes ist nicht gegeben, engl. Law of the Excluded Middle) besagt, dass sich innerhalb eines logischen Systems für eine beliebige Aussage P die Aussage P ∨ ¬P (P oder nicht P) herleiten lässt. Das bekannteste logische System, in dem der Satz vom ausgeschlossenen Dritten gilt, ist die klassische Logik. In vielen logischen Systemen gilt das Tertium non datur nicht.
Wenn z. B. P die Aussage
- Hans ist blond.
bezeichnet, dann lässt sich die inklusive Disjunktion
- Hans ist blond oder Hans ist nicht blond.
mit den Axiomen und Regeln der klassischen Logik ableiten. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten sagt jedoch nichts über die Ableitbarkeit von P selbst aus.
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten ist zu unterscheiden vom Prinzip der Zweiwertigkeit, das aussagt, dass jede Aussage P entweder wahr oder falsch ist. Er darf auch nicht verwechselt werden mit dem Satz vom Widerspruch, der besagt, dass sich die Aussage ¬(P ∧ ¬P) in einem logischen System ableiten lässt.
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten ist nicht auf zweiwertige Logiken beschränkt, es gibt auch einige mehrwertige Logiken, aus deren Axiomen er ableitbar ist. Umgekehrt gibt es jedoch auch zwei- und mehrwertige Logiken, aus deren Axiomen er sich nicht ableiten lässt. Einige Schlussregelkalküle, in denen er nicht ableitbar ist, ersetzen die Regel 
durch 
. Weitere Details dazu finden sich im Artikel über den Wahrheitswert.
[Bearbeiten] Interpretation
Interpretiert man den Satz vom ausgeschlossenen Dritten innerhalb der klassischen Logik (mit einer zweiwertigen Booleschen Algebra), dann ist er eine Tautologie, also unabhängig von der Wahl von P und unabhängig von dessen innerer Struktur, wahr.
In logischen Systemen, in denen die atomaren Sätze und die Junktoren (Konnektive) anders interpretiert werden, ist dies nicht notwendigerweise der Fall. Zum Beispiel interpretiert die intuitionistische Logik die Aussage "G ∨ ¬G" als die Existenz eines Beweises oder einer Widerlegung für den Satz G. Da sehr viele konkrete Aussagen (z. B. die Kontinuumshypothese) weder beweisbar noch widerlegbar sind, gilt bei dieser Interpretation Tertium non datur nicht immer. Entsprechend sind Kalküle für solche logischen Systeme so konstruiert, dass der Satz "G ∨ ¬G" dort nicht herleitbar ist.
[Bearbeiten] Abgrenzung
Ob innerhalb eines bestimmten logischen Systems der Satz vom ausgeschlossenen Dritten gilt, kann rein formal untersucht werden. Daher sind diesbezüglich keine Meinungsverschiedenheiten möglich.
Von dieser rein logischen Fragestellung klar zu unterscheiden sind philosophische Fragestellungen, z. B. die metaphysische Frage, durch welche Art von logischem System (mit oder ohne Tertium non datur) sich die Wirklichkeit beschreiben lässt; oder die pragmatische Frage, mit welcher Art von logischem System sich etwa die Mathematik möglichst einfach vorantreiben lässt. Hinsichtlich dieser Fragen waren unter anderem im Grundlagenstreit rege Diskussionen im Gang.
[Bearbeiten] Philosophie
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten hat eine lange philosophiegeschichtliche Tradition und ist daher auch noch unter anderen Bezeichnungen bekannt: Das principium exclusi tertii sive medii inter duo contradictoria (lat.) bezeichnet in der formalen Logik als allgemein anerkanntes drittes Gesetz des Denkens „das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten“, genauer: das Prinzip des Ausschließens des Dritten.
Da man diese dritte Möglichkeit in der Logik seit Aristoteles mit einer räumlichen Analogie das Mittlere zu nennen pflegt, wird das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten auch das "Prinzip des ausgeschlossenen Mittleren" genannt. Deshalb lautet die vollständige Benennung des in Rede stehenden Prinzips:"Prinzip des zwischen zwei kontradiktorischen Sätzen stehenden ausgeschlossenen Dritten oder Mittleren"(lat. principium exclusi tertii sive medii inter duo contradictoria).
Wer den Satz (oder das Prinzip) vom ausgeschlossenen Dritten ablehnt oder kritisiert, behauptet nicht notwendig, dass es etwas Drittes gibt, sondern er lehnt logische Schlüsse ab, bei denen man aus der Logik und nicht aus den Tatsachen über den jeweiligen wissenschaftlichen Gegenstand etwas für wahr oder existent hält. Eine solche Kritik wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts sehr polemisch geäußert. Der Mathematiker, Logiker und Philosoph Luitzen Egbertus Jan Brouwer kritisierte besonders aus dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten ableitbare Aussagen der Form:
- Wenn für kein x gilt: nicht A(x), dann gilt für alle x: A(x)
Brouwer stellte (intuitionistische) Logikkalküle auf, in denen der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht ableitbar ist. Relevant wird eine Ablehnung des Satzes bezüglich der Mathematik bei Aussagen über Unendliches und außerhalb der Mathematik bezüglich zukünftiger oder vergangener Ereignisse (siehe auch Methodischer Konstruktivismus). Ein Beispiel ist die Behauptung: "Entweder war die Welt schon immer da oder sie hat irgendwann angefangen.", die den Satz vom ausgeschlossenen Dritten braucht, um wahr zu sein.
[Bearbeiten] Siehe auch
- Klassische Logik
- Wahrheitswert
- Denkgesetze (Philosophische Betrachtung der Logik)
