Diskussion:Natürliche Zahl

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Inhaltsverzeichnis

1 Singular/Plural
2 0 als natürliche Zahl
3 Redirect Peano-Arithmetik
4 Blackboard Bold N vs IN
5 Auch die 1 hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung
6 Zum Abschnitt "Primzahlen"
7 Ein Wort -- eine Zahl
8 N^*
9 N ist Syntax einer Programmiersprache?
10 Editwar um den 7.5. herum
11 Peano
12 Kommentare 10. Juli 2005
13 Peano-Arithmetik mit Quantoren
14 Schwächen von Peano
15 Peano Fehler?
16 Quelle für Peano-Axiome?
17 = versus :=

[Bearbeiten] Singular/Plural

Wie steht es eigentlich mit der Singular/Plural-Vereinbarung für Eintragsbegriffe? Bei der internationalen Wikipedia wird darauf geachtet, dass die Einträge im Singular steheh. -- Tiago

"Natürliche Zahlen" ist eine Menge. Es geht um viele Zahlen (um die Menge), nicht um genau eine Zahl. Deswegen halte ich den Plural für angebracht, denn er unterscheidet mögliche Begriffe. -- Fgb

Sehe ich ähnlich wie Fgb. Meiner Meinung nach, sollte man wenn möglich immer den Singular verwenden, aber gerade 'Natürliche Zahlen' hätte ich vermutlich auch als Plural eingetragen - weil hier die Gesamtheit beschrieben wird. -- avatar

Sehe ich nicht so! Die 2 ist eine natürliche Zahl. Es gibt also den Singular Begriff. Sonst müsste man auch Tisch, Stuhl, Haus unter ihrer Pluralform stehen haben, weil es ja sehr viele davon gibt. Stern 13:44, 23. Apr 2004 (CEST)

LDC, take a look at this page when you get a chance--note the sl: interwiki link. Koyaanis Qatsi 13:51, 30. Aug 2002 (PDT)

[Bearbeiten] 0 als natürliche Zahl

Wieso ist es sinnvoll, dass die 0 in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten ist? Von der Bezeichnung her ist es sinnvoll, dass sie nicht die 0 enthält, da man so mit N und N₀ die Mengen ohne und mit der 0 einfach bezeichnen kann. Nankea 01:43, 14. Apr 2004 (CEST)

Sinnvoll sind beide Konventionen. Was für einen bestimmten Zweck besser geeignet ist, hängt von eben diesem Zweck ab.

Wer beide Mengen braucht, wird wohl die Schreibweisen N und N₀ verwenden. Wer dagegen in seiner Arbeit die natürlichen Zahlen mit Null ständig braucht, wird wohl dafür die Bezeichnung N verwenden, und an den paar Stellen, wo die Null ausgeschlossen werden soll, eine der anderen angegebenen Schreibweisen benutzen.

Analoge Unterscheidungen gibt es viele: Ich arbeite ständig mit der Menge der Primzahlen, die standardmäßig mit P ( $\mathbb{P}$ ) geschrieben wird. Jedoch brauche ich auch oft die Menge der Primzahlen ohne die 2, die ich also als P\{2} schreibe. Mir käme nie in den Sinn, letztere Menge als P zu bezeichnen und alle Primzahlen mit P₂. --SirJective 13:30, 14. Apr 2004 (CEST)

Gut, also sind beide Konventionen, je nach zweck, gleich sinnvoll. Trotzdem halte ich die Aussage "Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es aber sinnvoll..." für falsch. Das Gegenteil ist ebenso sinnvoll:

Null ist die Anzahl der Elemente der leeren Menge, aber sie ist nicht Element der natürlichen Zahlen. Die Leere Menge jedoch IST eine Teilmenge. Sie enthält nicht die Null, sondern GAR NICHTS. Somit werden beide Varianten bedient: für N_ohne_0 steht die Menge der natürlichen Zahlen, und für N_mit_0 stehen die Elementanzahlen der Teilmengen.

Ich erwarte von einer Enzyklopädie, daß die Allgemeinverständlichkeit der Artikel maximiert wird. Wenn es mehr als eine Konvention gibt (die signifikant ist), dann sollten alle gleichermaßen aufgelistet werden, eventuell mit Beschreibung ihres jeweiligen Verwendungsbereiches, aber der Artikeltext selbst sollte möglichst wenig von einer vorherrschenden Konvention gefärbt sein. --Modran 21:13, 24. Sep 2004 (CEST)

Die genannte Aussage ist nicht falsch - die 0 als natürliche Zahl zu betrachten ist tatsächlich sinnvoll. Und ebenso sinnvoll ist es, sie nicht als natürliche Zahl zu betrachten. Nur weil das Gegenteil sinnvoll ist... ;)

Bestimmt ist es eine gute Idee, die Verbreitung der beiden Varianten (und die Ursachen dafür) darzustellen. Ich denke aber, dass man sich innerhalb der Wikipedia auf eine Variante festlegen sollte, um dem Leser die Sicherheit zu geben, dass er weiß, was mit N gemeint ist (die Alternative wäre, in jedem Artikel, wo es drauf ankommt, dazuzuschreiben, ob die 0 als natürliche Zahl betrachtet wird). Ein entsprechender Absatz aus der englischen Seite lautet: "Wikipedia follows this convention [to include zero], as do set theorists, logicians, and computer scientists. Other mathematicians, primarily number theorists, often prefer to follow the older tradition and exclude zero from the natural numbers."

Und wie so oft ist der englische Artikel deutlich ausführlicher als der deutsche. --SirJective 23:49, 24. Sep 2004 (CEST)

Ich habe eben in Diskussion:Primzahl etwas dazu geschrieben, was unmittelbar hier auch hinpaßt. Mathematische Konventionen sind willkürlich und werden im Zweifelsfall nach ihrer Anwendbarkeit ausgewählt. Innerhalb der Peano-Aximo ist es völlig Wurscht, wie man das erste Glied der unendlichen Kette NENNT, hauptsache sie hat ein erstes Glied an einer Seite und ist an der anderen Seite unendlich.

Meines Wissens bildet heute die Mengenlehre die einfachste Basis, um alle bekannten formalen Systeme daraus zu konstruieren. Man konstruiert mit ihr sowohl die natürlichen Zahlen_ohne_0 als auch jene_mit_0. Zur einfachen Unterscheidung spricht man im einen fall von der "Menge der natürlichen Zahlen" (ohne explizit auf das "ohne_0" hinzuweisen), und im anderen Fall von der Mächtigkeit von Teilmengen der natürlichen Zahlen - bei denen plötzlich die 0 auftaucht, als Betrag der leeren Menge ( Eine Enzyklopädie sollte sich diese Methode zu eigen machen und jedes Lemma auf möglichst einfache Elemente zurückführen). Wenn eine Menge die zahl 0 enthält, so gibt es dennoch kein nulltes Element dieser Menge. Ein Element kann 0 sein, aber es kann sich nicht an nullter Position befinden. Im Gegensatz zum derzeitigen Artikeltext ist es tatsächlich sinnvoller, die 0 NICHT zur Menge N zu zählen, weil das die konstruktion aller anderen mengen, und damit die gesamte mathematik, vereinfacht.

ich möchte nur darauf hinaus, daß es falsch - oder zumindest subjektiv - ist, das Prädikat "sinnvoll" zu verwenden. --Modran 00:07, 25. Sep 2004 (CEST)

Ja, "sinnvoll" ist subjektiv und mathematische Definitionen willkürlich. Dem stimme ich zu. Was willst du noch aussagen?

Die "Mächtigkeit von Teilmengen der natürlichen Zahlen" umfasst auch die abzählbare Unendlichkeit, die nicht von N_0 erfasst wird. Von Neumanns Konstruktion liefert die 0 als natürliche Zahl, dargestellt durch die leere ("0-elementige") Menge. Gibt's ne einfachere Konstruktion, die 0 nicht als natürliche Zahl liefert? --SirJective 00:46, 25. Sep 2004 (CEST)

Reine Definitionsfrage. Die meisten Mathematiker starten bei 1, die theoretischen Informatiker bei 0 usw. Beide Gruppen gestalten dadurch ihre Darstellungen ein wenig netter. Hauptsache man hat induktive Mengen (Induktionsstart und Induktionsschritt) verstanden. --Marc van Woerkom 19:00, 25. Sep 2004 (CEST)

Es ist sehr wohl sinnvoll, wenn nicht gar notwendig, Null als natürliche Zahl anzusehen. Wenn man auf den Natürlichen Zahlen aufbaut und eine Abelsche_Gruppe konstruiert, braucht man ein Nullelement. Sobald man als Operation nicht nur die Multiplikation zulässt, bei der die 1 das Nullelement darstellt, sondern auch die Addition will, braucht man die Null - denn nur sie ist das Nullelement der Addition.

Natürliche Zahlen ohne 0 (Positive Zahlen) bilden keine abelsche Gruppe bezüglich der Addition. Spätestens, wenn man einen Körper bauen will, geht ohne die Null nichts mehr. Und für die meisten Sätze und Lemmata braucht man Körper.

Ja, aber die natürlichen Zahlen mit der Null bilden auch keine Gruppe. Darüber, dass die 0 eine ganze Zahl und eine rationale Zahl ist, gibt es keine Diskussionen; nur die Frage, ob die 0 als natürlich gilt, wird von verschiedenen Autoren (und in verschiedenen Epochen) verschieden gesehen. -- Wuzel 12:46, 14. Mär 2005 (CET)

Daher ist es sinnvoll, die Null als natürliche Zahl anzusehen, was Peano ja auch getan hat. Natürliche Zahlen ohne Null (Positive Zahlen) taugen für ein einfache Basteleien und Induktion, aber IMHO nicht für mehr. --Jwilkes 02:14, 13. Jan 2005 (CET)

Ich habe gerade anlässlich letzter Änderungen in diesen Artikel geschaut und war auch etwas von der Definition von N irritiert, wiewohl auch ich schon mit natürlichen Zahlen zu tun hatte, die die Null umfassen. Ich würde die obige Diskussion gern noch mal aufkochen. Mal rein pragmatisch diskutiert: Es hängt natürlich immer von der eigenen Anwendung ab, was man als bequemer empfindet. Jetzt möchte ich aber daraufhinweisen, dass ja die Wikipedia auch von vielen Schülern frequentiert wird, die nicht gelernt haben, mit Freiheit der Lehre umzugehen, sondern gewissermaßen in N ohne Null dressiert worden sind. Die springen im Dreieck, wenn sie das jetzt hier umgekehrt lesen. Deshalb fände ich es angebracht, dass die allgemeine Darstellung mit N erfolgt, das die Null nicht enthält und der Hinweis für Akademiker gemacht wird, dass es auch ein Leben mit N und Null gibt. Akademiker können mit so was umgehen, es ist unangebracht, Schülern das zuzumuten. --Philipendula 11:36, 1. Dez 2004 (CET)

Ich weiß nicht, was "die meisten" Schüler lernen, und ich weiß nicht, wie alt Ihr alle seid. In den österreichischen Schulen wurde jedenfalls etwa im Jahr 1986 umgestellt -- davor war 0 (in der Schule) keine natürliche Zahl, jetzt ist sie eine. Das hing damals mit einer EU- (bzw EWG, oder wie das damals geheißen hat)-Empfehlung zusammen. -- Wuzel 12:46, 14. Mär 2005 (CET)

Ich kann mich an dieses Detail meiner eigenen Schulzeit nicht mehr sicher erinnern :) Aber ich glaube, dass wir sogar die positiven Brüche noch vor der 0 kennengelernt haben.

Das kann gut sein, das entspricht auch der historischen Entwicklung; die alten Griechen kannten positive Brüche bzw Verhältnisse, aber nicht die 0. -- Wuzel 12:46, 14. Mär 2005 (CET)

Ich könnte mir durchaus vorstellen, dass folgende Abschnitte auf "N ohne 0" umgestrickt werden:

Einleitung
Die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen
Peano-Axiome

Ob das einem Schüler hilft, weiß ich nicht, denn der nächste Abschnitt setzt explizit die 0 an den Anfang, und das sollte auch nicht geändert werden:

Ein Modell der natürlichen Zahlen

Der folgende Abschnitt nimmt Bezug auf beide Varianten (eben weil es sie gibt):

Bezeichnung der natürlichen Zahlen

Den letzten beiden Abschnitten scheint es egal zu sein, ob die 0 drin ist oder nicht:

Primzahlen
Die vielleicht einfachste Programmiersprache der Welt

Wie ich im September schon angesprochen hatte, halte ich es darüberhinaus für eine gute Idee, die Verbreitung der Varianten und deren Ursachen darzustellen. Könnten wir damit auch "in N ohne Null dressierten Schülern" ;) klarmachen, dass und warum es auch anders geht?

Meinst du, wir sollten zusätzlich "auf die Jagd gehen", und die Verwendung von N in anderen Artikeln vereinheitlichen, oder nur jeweils (wo's drauf ankommt) dazuschreiben, welche Variante der Autor verwendet? Ich wäre für letzteres. --SirJective 12:31, 1. Dez 2004 (CET)

Tja... dass das Ganze noch einen Rattenschwanz an Artikeln verursacht, war mir nicht klar. Ich bin noch mal in mich gegangen. Früher habe ich die natürlichen Zahlen auch immer incl. Null behandelt, weil ja in den meisten Anwendungen die Null berücksichtigt werden muss und man sie sonst dauernd in einer Extra-Behandlung mitschleppen muss. Irgenwann bin ich dann umgeschwenkt, weil ich immer das Gefühl hatte, gegen "herrschendes Recht" zu verstoßen. Jetzt hab ich mal in den Bronstein geschaut: Da ist es auch mit Null. Vermutlich ist es doch pragmatischer, die Null drin zu lassen. Wie das heute in den Schulen gehandhabt wird, weiß ich nicht, vermute aber, dass sich nix geändert hat. Konvex und Konkav einer Funktion wurde, so weit ich weiß, in der Schule auch andersrum definiert. Von daher wäre auch dein Lösungvorschlag mit den Varianten ganz gut: Es wird in der Einleitung gaaanz groß und dick darauf hingewiesen, dass es zwei Lesarten gibt und dass man im akademischen Bereich aus praktischen Gründen die eine Art bevorzugt. Das müsste auch gehen. Die Schüler sollten halt nur nicht erst eine halbe Stunde versuchen, den Artikel zu verstehen, bis sie kapieren, was da falsch gelaufen ist. --Philipendula 13:26, 1. Dez 2004 (CET)

Ich finde, da hat Marc van Woerkom in der Einleitung des Artikels gute Arbeit geleistet.

Danke, Marc! --SirJective 13:31, 5. Dez 2004 (CET)

Sehe ich auch so. Danke!

Vorschlag: Für die "N ohne Null" sollte man immer $\mathbb{N}^+$ verwenden. Das ist eindeutig, und stimmt auch mit den Büchern überein. Um Verwechslungen zu vermeiden, kann man dann auch $\mathbb{N}_0$ schreiben wenn man die kompletten Natürlichen Zahlen meint.

Die "Fortgeschrittenen" werden ohnehin zu Beginn ihrer Texte kurz benennen, was sie meinen, und ab da nur N schreiben. Für alle anderen sollte man IMHO explizit benennen, was man meint, und damit Mißverständnisse vermeiden. --Jwilkes 02:23, 13. Jan 2005 (CET)

So lange wir keine Instanz finden, die die Frage ein für alle Mal entscheiden könnte, scheint mir das ein guter Vorlschlag. Ich gehöre übrigens zur $\mathbb{N}_0$ -Fraktion. -- RainerBi ✉ 07:18, 13. Jan 2005 (CET)

Im Artikel ist doch ein Verweis auf die DIN-Norm, nach der 0 dazugehört. Wo liegt dann das Problem? Bei uns im Unterricht gab es auch erst Probleme, aber unsere Formelsammlung hat sich an die DIN-Norm gehalten und so haben wir uns geeinigt. Dort war die Menge der Natürlichen Zahlen mit 0 $\mathbb{N}$ und die Menge der Natürlichen Zahlen ohne 0 $\mathbb{N}^*$ . Wenn man statt dessen $\mathbb{N}^+$ schreibt, ist das natürlich auch eindeutig. - Viktor Dick

Viele Mathematiker halten sich auch in aktuellen Veröffentlichungen nicht an die von der DIN-Norm vorgeschlagene eindeutige Regelung. Und solange eine Konvention nicht von allen eingehalten wird, muss in jedem einzelnen Fall wieder abgeklärt werden, welche Definition der Autor denn verwendet. Das Problem ist vielleicht mit der Streiterei über die Rechtschreibreform vergleichbar: Eigentlich gäbe es eine einheitliche und eindeutige Regelung, aber bei weitem nicht alle sind gewillt, sich daran zu halten.--MKI 21:41, 19. Apr 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Redirect Peano-Arithmetik

Ich habe ein Redirect von Peano-Arithmetik erzeugt, da hier wesentliche Grundlagen stehen. Ein eigener Artikel wäre in Zukunft aber angebracht. --Hutschi 13:48, 23. Apr 2004 (CEST)

Nur dass hier immer noch ein Link auf Peano-Arithmetik steht ;-) rubik-wuerfel 30. Aug 2004

[Bearbeiten] Blackboard Bold N vs IN

Also das $\mathbb{N}$ der TeX Schriftart [borlawtalk.com/Blackboard_bold Blackboard Bold] (Tafel-Fett :) ist eigentlich nicht das N, was ich von dem Mathematikunterricht in Schule und der Uni her kenne. Denn das sieht eher so aus: |N.

Steht auch so im Unicode unter 2115, mathml Nopf: http://www.w3.org/TR/MathML2/double-struck.html

Ich vermute mal, dass es doch feine Unterschiede in USA und Deutschland (evt. Europa) gibt. Kennt sich da jemand mit aus? --Marc van Woerkom 11:59, 14. Mär 2005 (CET)

Keine Ahnung, aber trotzdem Senf:

Bei mir sieht Zeichen #2115, ℕ, im Browser wie die TeX-Variante aus, mit doppeltem Schrägbalken. Aber frag mich nicht, welche Schriftart das ist *g* In der normalen Schriftgröße sieht es allerdings unleserlich aus (noch schlimmer ist das beim bereits in einigen Artikeln verwendeten ℝ), besser erkennt man es vergrößert:

ℕ

Du hast schon recht, handschriftlich schreib auch ich den ersten senkrechten Balken doppelt, wie in "|N"; passend dazu finde ich in vielen TeX-Dateien das Makro "\IN" als Kürzel für "\mathbb{N}". --SirJective 12:37, 14. Mär 2005 (CET)

na, wenn wir schon bei diesem thema sind: in latex binde ich immer das package bbold ein, um via \mathbb tafelaehnliche (obgleich serifenlose) symbole fuer die verschiedenen zahlenmengen zu erhalten. hier in der wikipedia geht sowas aber nicht, oder? --seth 23:24, 14. Mär 2005 (CET)

In Latex würde ich das package bbm einbinden und \mathbbm{N}, zwar nicht vektoriell =>pixelig, aber "nach Norm", machen, nur weiß ich nicht ob das hier geht.. Victorolosaurus

da die letzten beiden aenderungen sich wieder darum drehten...noch mal dazu: im artikel steht:
[...] schreibt man dann ein "Doppelstrich-N". Mit der Zeit hat sich dieses Symbol $\mathbb{N}$ für die natürlichen Zahlen [...] auch im Drucksatz durchgesetzt.
darf ich das aendern zu folgendem?
[...] schreibt man dann ein "Doppelstrich-N". Handschriftlich wird bild:http://www.w3.org/TR/MathML2/glyphs/021/U02115.png, im Drucksatz dagegen meistens $\mathbb{N}$ für die natürlichen Zahlen [...] verwendet.
wenn ich http://www.w3.org/Consortium/Legal/2002/copyright-documents-20021231 richtig verstanden habe, darf man das bild ueberall hochladen und verwenden, wenn man die entsprechenden quellenangaben etc. macht. aber ich kenn mich da nicht so aus. public domain ist es afais nicht und steht auch nicht unter einer gnu-lizenz, oder? --seth 12:47, 16. Mai 2005 (CEST)

Selber machen ist einfacher:

.--Gunther 13:01, 16. Mai 2005 (CEST)

hihi, ja, ok, ich wollte aber ein serifenloses, da man ja auch normalerweise serifenlos schreibt ;-p. das package bbold ist jedoch afaik nicht frei, weswegen ich die idee mit dem w3c hatte.--seth 15:59, 16. Mai 2005 (CEST)

Es erscheint mir zwar zweifelhaft, ob der Schriftautor noch Rechte an dem Bild hat, aber serifenlos kann ich das auch noch selbst mit xfig. Jetzt garantiert GFDL :-) --Gunther 16:30, 16. Mai 2005 (CEST)

Ich würde zumindest im Artikel (wenns geht mit Bild) erwähnen, dass es neben der Schreibung "|\\|" noch die Variante "||\|" gibt; die theoretisch möglichen anderen Varianten sind mir noch nicht begegnet. Ich selbst schreibe, wie oben schonmal erwähnt, mein IN so:

http://chsemrau.de/wikipedia/Zeichen_N.png (selbst geschrieben, und digitalisiert, mit GIMP nachbearbeitet)

Bei Gunthers Zeichnung scheint mir das untere Ende des Doppelstrichs geschlossen zu sein - handschriftlich hab ich sowas noch nicht gesehen, und mein IN sieht auch nicht so "||\|" sondern so "//\/" aus. --SirJective 18:28, 16. Mai 2005 (CEST)

Ich habe schon geschlossene untere Enden gesehen, in etwa erzeugt als "[|\|". Selbst schreibe ich IN (senkrecht, zwei Zusammenhangskomponenten, höchstens verschmiert, weil ich dreimal links oben ansetze).--Gunther 18:38, 16. Mai 2005 (CEST)

Meine natürlichen N schauen fast genauso aus wie die von SirJective, mit dem einzigen Unterschied, dass ich sie nicht kursiv schreibe. Das entspricht genau dem, wie ich es in der Schule gelernt habe, und ich habe auch den Eindruck, dass die meisten Lehrer ihren Schülern diese Variante beibringen. Ich kann mich jedenfalls nicht erinnern, dass mir jemals ein handgeschriebenes Doppel-Mittelstrich-N (also das TeX-N) oder ein N mit einem links unten zusammenhängenden Doppelstrich ( [N ) begegnet wäre. Weiß jemand, ob in irgendwelchen Lehrplänen eine Aussage zur Form des handgeschriebenen natürlichen N gemacht wird?--MKI 20:43, 16. Mai 2005 (CEST)

die handgeschriebenen N, die ich kenne und gelernt habe, sind zum einen das von Gunther beschriebene ||\| und zum anderen das von Gunther "gemalte", welches also den doppelten strich nicht links, sondern rechts vom linken senkrechten N-strich (also nur eine zusammenhangskomponente) hat. z.b. in der din-norm wird ||\| genannt, aber lehrplaene kenne ich auch nicht.

imho wir sollten wir im artikel erwaehnen, dass handschriftlich fast immer eine dieser beiden schreibweisen genutzt wird.--seth 11:03, 17. Mai 2005 (CEST)

Ich sollte der Vollständigkeit halber erwähnen, dass ich das hochgeladene Bild während dieser Diskussion mehrfach geändert habe, um es den genannten Wünschen anzupassen.--Gunther 11:10, 17. Mai 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Auch die 1 hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung

Im Bereich der natürlichen Zahlen ? Von denen ist hier nämlich allein die Rede.

Ich kann eine solche eindeutige Primfaktorzerlegung der Zahl 1 nirgends finden, auch nicht "zwei Zeilen darunter". Bitte erkläre mir Dein Konzept der natürlichen Zahlen, und vor allem der eindeutigen Zerlegung der Zahl 1 genauer. Ich bin sehr neugierig...

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Zwei Zeilen darunter steht: Die 1 ist keine Primzahl; ihre Primfaktorzerlegung ist das leere Produkt mit 0 Faktoren, welches definitionsgemäß den Wert 1 hat.--MKI 02:25, 8. Apr 2005 (CEST)

Richtig ist: Ein Produkt mit 0 Faktoren, welches definitionsgemäß den Wert 1 hat.

Aber das ist Mengentheorie und hat nichts mit der Definition im Bereich der Zahlentheorie zu tun, wonach die Primfaktorzerlegung einer Zahl ein wenig anders definiert wird.

Und sei es auch nur die (in N unzerlegbare) Zahl 1.

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Nur weil hier von einem leeren Produkt gesprochen wird, hat das mit Mengentheorie noch lange nichts zu tun.

Die Primfaktorisierung eines Produkts a*b ist das Produkt aus der Primfaktorisierung von a und der Primfaktorisierung von b. Dieser Sachverhalt bleibt richtig, wenn man der 1 das leere Produkt als Primfaktorisierung zuordnet. Auch sonst ergeben sich durch diese Definition keine Widersprüche, sondern sie fügt sich im Gegenteil nahtlos in die Theorie mit ein. Deshalb sind viele, auch ich, davon überzeugt, dass das leere Produkt die ganz natürliche Definition für die Primfaktorisierung der 1 ist (bzw. ist man allgemeiner mit der Konvention sehr glücklich, das leere Produkt als 1 zu definieren).

Bevor wir weiterdiskutieren, möchte ich dich um eines bitten: Schreib doch, worum es dir eigentlich geht. Dein Stil erweckt nämlich den Eindruck, dass du hauptsächlich dagegenreden möchtest und gar nicht so sehr daran interessiert bist, den Hintergrund für diese Konvention zu erfahren.--MKI 03:55, 8. Apr 2005 (CEST)

Na ja, ich bin ein sehr geduldiger Zuhörer. Ich möchte niemals nur _dagegen_ reden, wo es um etwas Ernsthaftes geht. Nur glaube ich nicht, daß es hier um etwas Ernsthaftes geht. Es sei denn, Du könntest mir eine _klare_ Erklärung dessen liefern, was Du unter "einer eindeutigen Primfaktorzerlegung" der Zahl 1 verstehst. Ich glaube nicht daran, daß Du dazu wirklich in der Lage bist, denn dazu müstest Du 1.) Entweder eine neue Mathematik erfinden; oder 2.) Einen der vielen Überzeugungstäter nennen, von denen Du behauptest, sie könnten Dir zur Seite springen ("Deshalb sind viele, auch ich, davon überzeugt,..."); und 3.) müßte dieser Zeuge auch noch viel verrückter denken als Du.

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Schreibe hier die Zerlegung von 1 auf oder denke nach:___________

In dem Buch Zahlentheorie von Prof. Leutbecher steht auf Seite 18:

Satz 6 (Der Fundamentalsatz der Arithmetik in $\mathbb{Z}$ ). Jede natürliche Zahl kann in genau einer Weise geschrieben werden als Produkt

$n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}\qquad (r \geq 0, a_i\in\mathbb{N},1\leq i\leq r$ )

von Potenzen der Größe nach geordneten Primzahlen. Im Fall $r = 0$ ist das leere Produkt als 1 zu lesen.

Solltest du dich weiterhin derart herablassend äußern und auf meine Argumente gar nicht eingehen, dann werde ich die Diskussion nicht fortführen.--MKI 10:55, 8. Apr 2005 (CEST)

Vielleicht kann ein Blick in den Kasten "Leere Produkte und Produkte mit nur einem Faktor" auf der Seite http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Zahlentheorie:_Fundamentalsatz_der_Arithmetik etwas mehr Klarheit verschaffen ? Oder der Artikel "Warum ist 1 keine Primzahl? "http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Zahlentheorie:_Warum_1_keine_Primzahl_ist ? Oder der Artikel "Prime Number" in http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html ?

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Ich hoffe, diese Zeilen klingen nicht "herablassend", sondern einfach nur sachlich.

Auf meinen Beitrag eingegagen bist du jedenfalls wieder nicht. Wenn du weiterdiskutieren willst, dann hole das bitte nach.--MKI 10:19, 10. Apr 2005 (CEST)

Ein Angebot: Schreibe Deinen Beitrag auf dieser Seite nochmals in Deinen Worten auf. Dann werde ich ihn in meinen Worten klar und eindeutig beantworten. Soweit ich Dich bisher verstanden habe, behauptest Du, die Zahl 1 sei in natürliche Zahlen zerlegbar, was ich bestreite. Falls Du dies aber darlegen kannst (mit den Mitteln der anerkannten Zahlentheorie), dann gebe ich mich geschlagen.

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Das Zitat von Herrn Professor Leutbecher (auf Seite 18) wird Dir hier nicht weiter helfen.

Hallo Hans und MKI.

Eine Anmerkung vorneweg: Da wir hier nur von natürlichen Zahlen sprechen, meine ich mit "Zahlen" nur diese.

Eine Frage ist, ob die 1 eine Primfaktorzerlegung hat.

Eine zweite Frage ist, wie das leere Produkt definiert ist. Da hat MKI eine Quelle genannt, die dem den Wert 1 zuordnet. Dem hat Hans zugestimmt.

Ich stimme Hans zu (und auch MKI wird da nichts gegenteiliges behaupten, denke ich), dass die Zahl 1 unzerlegbar ist - sofern man die (gerade ergänzte) Definition verwendet, dass eine zerlegbare (zusammengesetzte) Zahl ein Produkt mindestens zweier kleinerer Zahlen ist.

Trotzdem hat die 1 eine Primfaktorzerlegung, d.h. eine "Darstellung [...] als Produkt von Primzahlen" - die Anzahl der Primzahlen in diesem Produkt ist 0. Hans, warum meinst du, dass die Anangabe eines Zahlentheorie-Lehrbuchs da nicht weiterhilft? Und was möchtest du mit den drei gegebenen Links belegen; kannst du das bitte noch erläutern?

Hans, im übrigen finde ich deinen Ton unangemessen. Von "Überzeugungstätern" zu sprechen, und sein Gegenüber zum Nachdenken aufzufordern halte ich für unfreundlich (glaubst du, MKIs Reaktion ist ein Reflex, wo kein Nachdenken nötig war?! - So kommt es mir vor).

--SirJective 18:17, 10. Apr 2005 (CEST)

Danke SirJective, dass du hier mit eingestiegen bist. Ich versuche mich auch noch mal an einem Klärungsversuch:

Zerlegen im intuitiven Sinn kann man eine Zahl nur dann, wenn man sie irgendwie in handfeste Teile aufspalten kann, wenn sie also aus Produkt von mindestens 2 nichttrivialen Faktoren geschrieben werden kann. Es ist aber auf sehr konsistente Art möglich und deshalb gang und gäbe, auch Produkte aus einem oder gar keinem Faktor zuzulassen. Und damit kann dann auch den Primzahlen und der Eins eine Primfaktorzerlegung im Sinne eines solchen Produktes mit beliebig vielen Faktoren zugeordnet werden.

Wie schreibt man ein solches Produkt konkret nieder? Z.B. indem man die (Multi-)Menge der Faktoren nennt. Für die Zahl 6 ergibt sich {2,3}, für die Zahl 2 ergibt sich {2} und für die Zahl 1 ergibt sich die leere Menge {}, weshalb das Produkt aus keinem Faktor auch als leeres Produkt bezeichnet wird.

Das was ich hier aufgeschrieben habe steckt im Prinzip auch in der Passage von Leutbecher. Die Anzahl der Faktoren ist dort r, und auf den Fall

r = 0

weist er ja sogar gesondert hin.

Fazit: Auch wenn man manche Zahlen (die Eins und die Primzahlen) nicht zerlegen kann, so haben sie doch eine Primfaktorzerlegung.--MKI 23:36, 10. Apr 2005 (CEST)

Vielen Dank für die Klarstellung, MKI. Die kanonische Primfaktorzerlegung von Prof. Leutbecher ist völlig in Ordnung, aber aus ihr läßt sich mitnichten die Möglichkeit einer Primfaktorzerlegung von 1 oder einer Primzahl in $\mathbb{N}$ ableiten. Diese kanonische Darstellung besagt lediglich etwas über das "mehrfache" Vorkommen "gleicher" Primfaktoren in der vollständigen Zerlegung einer natürlichen Zahl. Das "p" in der Gleichung steht nämlich bereits für eine Primzahl ("von Potenzen der Größe nach geordneten Primzahlen."). Das heißt: für eine natürliche Zahl > 1. Mit der Erklärung "Im Fall r = 0 ist das leere Produkt als 1 zu lesen." (also r < i) folgt Prof. Leutbecher einer wohlbekannten Konvention unter Mathematikern, welche besagt: Falls die obere Grenze eines Produkts (oder einer Summe) die untere Grenze unterschreitet (wie in diesem Beispiel: r < i), dann bedarf es einer "Erklärung dieses Sachverhalts", um die Allgemeingültigkeit des Satzes zu gewährleisten. Aus dieser Gleichung läßt sich demnach weder die Möglichkeit einer Primfaktorzerlegung der 1 noch der Primfaktorzerlegung einer Primzahl in $\mathbb{N}$ ableiten. Das hier Gesagte hat überhaupt nichts mit "Intuition" zu tun, sondern einzig mit mathematischer Konvention und deren richtiger Interpretation.

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Für etwaige Grobheiten in meinen vorherigen Beiträgen bitte ich um Verzeihung. Falls keine Einwände von Deiner Seite mehr folgen, sollte diese Diskussion beendet sein. Andernfalls werde ich natürlich auf alle Deine künftigen Einwände eingehen.

Die Grobheiten sind dir von meiner Seite verziehen.

Du schriebst im Artikel, die 1 waere "gemaess mathematischer Konvention" keine Primzahl - ich praezisiere das zu: Sie ist direkt aufgrund der Definition von "Primzahl" keine Primzahl (und weil man das im ersten Absatz des Primzahl-Artikels lesen kann, braucht es hier nicht extra erwaehnt werden).

Sie ist aber auch - gemaess Definition von "zusammengesetzte Zahl" - nicht zusammengesetzt. Die natuerlichen Zahlen 0 und 1 sind die einzigen, die weder prim noch zusammengesetzt sind. Darin sind wir uns einig, oder?

Trotzdem laesst sie sich darstellen als ein Produkt von Primzahlen. Ebenso wie jede Primzahl darstellbar ist als ein Produkt von Primzahlen. Im ersten Fall als das leere Produkt, im zweiten Fall als ein Produkt mit nur einem Faktor. Falls du das anders sehen solltest, muessten wir den Begriff "Produkt" klaeren.

Definiere bitte, was du unter einer "Primfaktorzerlegung" verstehst (meine Definition hatte ich oben schon genannt).

--SirJective 12:42, 19. Apr 2005 (CEST)

Das ist einfach: Die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n wird definiert als die Zerlegung dieser natürlichen Zahl n in Primzahlen. Ist n eine Primzahl, dann besteht die Primfaktorzerlegung (= Darstellung) aus n. Ist n=1, dann gibt es keine Pimfaktorzerlegung von n in $\mathbb{N}$ . Nur zur Erinnerung: Es besteht ein wesentlicher (mathematischer wie sprachlicher) Unterschied zwischen "zusammengesetzt"/"zerlegbar" und "darstellbar" im Bereich der ganzen Zahlen.

Was die Zahl 1 und "mathematische Konvention" angeht: Ich habe diese Formulierung gewählt, weil es zu Zeiten von Goldbach und Euler ganz "natürlich" war, die 1 als eine Primzahl zu betrachten. Erst im neunzehnten Jahrhundert sind die Mathematiker (aus sehr pragmatischen Gründen) dazu übergegangen, die 1 aus der Menge der Primzahlen auszuschließen.

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: "Trotzdem hat die 1 eine Primfaktorzerlegung, d.h. eine "Darstellung [...] als Produkt von Primzahlen"." -- --SirJective hat dies geschrieben, und dabei die "Zerlegbarkeit" mit der "Darstellbarkeit" der Zahl 1 in $\mathbb{N}$ gleichgesetzt. Dem widerspreche ich nach wie vor.

[Bearbeiten] Zum Abschnitt "Primzahlen"

Bevor die Diskussion beginnt: Es besteht ein bedeutender Unterschied zwischen

1.) "auf genau eine Art als Multiplikation von Primzahlen zusammensetzen."

und

2.) "auf genau eine Art durch Primzahlen darstellen."

Die erste Formulierung ist mathematisch schlichtweg falsch, während die letztere mathematisch korrekt ist. Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Der Unterschied besteht zwischen "zusammengesetzt" und "darstellbar".

Die Diskussion hat bereits begonnen ;)

Ich verstehe, dass es dir um das "zusammensetzen" geht. Im Sprachgebrauch (wenigstens in meinem) ist ein Produkt aus Faktoren zusammengesetzt. Bei mindestens zwei Faktoren ist das auch kein Problem. Problematisch wird das erst, wenn das Produkt nur einen oder keinen Faktor hat - wie kann da noch etwas "zusammensetzen"?

Bist du denn mit der jetzigen Formulierung "auf genau eine Art als Produkt von Primzahlen darstellen" einverstanden?

--SirJective 12:42, 19. Apr 2005 (CEST)

Ja. Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Einfach "durch Primzahlen darstellen" ist auch zu ungenau, z.B. kann ich 5 durch die Primzahlen 2 und 3 darstellen: 5 = 2 + 3.--Gunther 02:54, 28. Apr 2005 (CEST)

Das ist ein berechtigter Einwand. Diese ganze (hoffentlich nicht endlose) Diskussion bezog sich einzig auf die "in Primzahlen zerlegbaren oder durch Primzahlen darstellbaren natürlichen Zahlen". Wobei wir uns stets und nur im Bereich der Multiplikation (um es präziser zu fassen: im Bereich der _zerlegbaren_ oder _faktorisierbaren_ natürlichen Zahlen) bewegen. Danke für die Klarstellung. Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

[Bearbeiten] Ein Wort -- eine Zahl

Während wir versuchen, den Begriff der "natürlichen Zahl" sprachlich in den _Griff_ zu bekommen, setzen wir _notgedrungen_ eben diesen Begriff in unserem Sprachgebrauch voraus. Wenn ich versuchen wollte, etwas über Zahlen (natürlich oder nicht) zu _erklären_, so würde ich nicht über diesen _teuflischen Sprachzirkel_ hinauskommen. Jeder Erklärungsversuch des Begriffs der Zahl setzt unvermeidlich einen (mehr oder minder offenkundigen) Gebrauch eben dieses Begriffs voraus. Ich werde zu einem späteren Zeitpunkt auf dieses Problem eingehen. Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

[Bearbeiten] N^*

benutzt tatsaechlich irgendjemand $\mathbb{N}^*$ fuer $\mathbb{N}\setminus\{0\}$ ? ich habe das noch nie in einem buch gesehen und faend es auch dumm/verwirrend, da ein stern auch sonst nicht auf positivitaet hinweist. sterne werden z.b. eher fuer duale benutzt ( $E *$ der dual von $E$ ). es gibt jedoch mehrere fulminante moeglichkeiten die natuerlichen zahlen ohne null zu beschreiben ( $\mathbb{N}_{>0}$ oder $\mathbb{N}^+$ ...). gibt es also wirklich jemanden, der $\mathbb{N}^*$ fuer ${1,2,3,...}$ benutzt?--seth 16:23, 20. Apr 2005 (CEST)

Doch, das wird schon so benutzt. Der Stern wird zum Beispiel benutzt, um die multiplikative Gruppe eines Rings auszuzeichnen, im Falle eines Körpers fällt also genau die Null weg. Die natürlichen Zahlen sind zwar weder Ring noch Körper, aber aufgrund dieser Parallele finde ich die Stern-Notation durchaus intuitiv.--MKI 18:53, 20. Apr 2005 (CEST)

[Bearbeiten] N ist Syntax einer Programmiersprache?

Was soll denn das hier? Mal abgesehen von so formalen Sachen wie Ausrufezeichen, "vielleicht", "denn Dank", ist die Verständlichkeit dieses Abschnittes gegen Null gehend, selbst für Informatiker, die eigentlich wissen, was mit Syntax einer Programmiersprache bezeichnet wird. N ist da keine bekannte und auch daher ist dieser Absatz fehl am Platze. Falls nicht tonnenweise Gegenstimmen eintrudeln, fliegt das demnächst raus. Schweikhardt 16:40, 20. Apr 2005 (CEST)

Dann beschreib mal bitte hier kurz mit Deinen Worten, was die Syntax einer Programmiersprache ist. Würde mich interessieren. --Marc van Woerkom 14:29, 22. Apr 2005 (CEST)

Da bin ich pragmatisch: Eine Syntax einer Programmiersprache ist eine, die ich in einem Buch über eine real existierende Programmiersprache finden kann. Kannst Du mir bitte erklären, was das Programm 42 macht? Ich finde dieser Abschnitt ist nicht Oma-konform, dazu esoterisch, und wenn er überhaupt etwas in einer Enzyklopädie zu suchen hat, wäre ein Eintrag unter Syntax der geeignetere. Wenn Dir soviel an diesem Abschnitt liegt, können wir uns darauf einigen, daß Du ihn zu einem passenden Begriff umziehst? -- Schweikhardt 16:31, 22. Apr 2005 (CEST)

Es ist wohl die Gödelisierung einer Turing-Maschine gemeint, inwiefern das hier relevant ist, ist wirklich fraglich. Der Abschnitt ist mir schon lange ein Dorn im Auge, schon allein wegen der reißerischen Aufmachung à la "die längste Praline der Welt". Ich werfe ihn jetzt einfach mal raus, mal sehen was passiert.--MKI 18:59, 20. Apr 2005 (CEST)

Die natürlichen Zahlen sind schlicht und einfach als Programme auffassbar. Das dies geht, liegt an der Abzählbarkeit der berechenbaren Funktionen, genauer der berechenbaren Zahlfunktionen, die letztlich auch die Abzählbarkeit der berechenbaren Wortfunktionen beinhalten. (Übrigens, die von einer Turingmaschine berechnete Wortfunktion ist schon was anderes als die Turingmaschine).

Die Aussage ist interessant und provoziert bei Leuten, die sich noch nicht mit Berechenbarkeitstheorie beschäftigt haben (was wohl die Mehrheit ist, nicht mal alle Informatiker bekommen das ausreichend in den einführenden Theorievorlesungen erklärt) Gegenreaktionen. Programmierkenntnisse sind ja mittlerweile verbreitet, insofern gibt es intuitive Vorstellungen was ein Programm, Algorithmus, Programmiersprache, Syntax etc sein soll, weil man diese Begriffe tagtäglich verwendet. Aber diese intuitive Sicht stimmt nicht immer! Das interessante an der Berechenbarkeitstheorie ist ja gerade, dass diese Begriffe präzise und minimal gefasst werden. Siehe z.B. das utm-Theorem oder der Beweis der Existenz von Compilern. Hinter Prolog als Programmiersprache steckt z.B. das Prädikatenkalkül. Es gibt viele faszinierende Beziehungen zwischen sehr formal ausschauender Mathematik und Programmieren (das erhebt die Disziplin zur Informatik). Wir können gerne über die Verpackung diskutieren, ich habe den Abschnitt gerade umgeschrieben, aber der Inhalt ist ein Faktum. --Marc van Woerkom 14:29, 22. Apr 2005 (CEST)

Warum sollte das aber in diesem Kontext relevant sein? Sollen nun alle abzählbaren Mengen ihren eigenen Abschnitt in diesem Artikel bekommen? Der vielleicht einfachste Kalender der Welt?

Ich habe das nicht vorgehabt.

Überhaupt ließe sich $\mathbb{N}$ auch über wesentlich weniger Umwege zur Programmiersprache deklarieren: Schreib das Programm in einer Programmiersprache deiner Wahl und identifiziere es mit der Stellenanzahl der unären Darstellung der Quelltextdatei.--MKI 16:07, 22. Apr 2005 (CEST)

Also bis auf die Mächtigkeit gibt es da ja wohl keinen erkennbaren Bezug zu den natürlichen Zahlen, oder haben Nachfolger, Summe, Produkt in diesem Kontext eine Bedeutung? Aber auch unter Abzählbarkeit sollte nicht jede interessante abzählbare Menge aufgelistet werden.--Gunther 02:50, 28. Apr 2005 (CEST)

Der gemeinsame Teil ist die Peano Konstruktion im Sinne von Festlegung eines Startelements und Angabe einer Nachfolgerelation, das ist auch grundlegend für die Rekursionstheorie. Die seit der Grundschule gewohnten Operationen Summe, Produkt kann man auch ausführen, aber die sind halt uninteressant. Es sind jedoch andere Operationen hier sinnvoll, wie die z.B. die Hintereinanderausführung von Programmen (gegeben sind n1 und n2, dem wird das n zugeordnet, welches der Hintereinanderausführung von n1 und n2 entspricht). Die Aussagen über Programme in der Berechenbarkeitstheorie und die Beweise ihrer Eigenschaften haben die Gestalt von Aussagen und Beweisen über natürlichen Zahlen. Die Korrespondenz zwischen natürlichen Zahlen und Berechenbarkeitstheorie ist vergleichbar der Korrespondenz zwischen reellen Zahlen und Geometrie (= analytische Geometrie). Das war ja die Erkenntnis von Descartes, dass man auf diesen Zahlen sinnvolle Ergebnisse erzielen kann, statt wie die Griechen nur mit Zirkel und Lineal zu arbeiten. Daher gehört meiner Meinung nach ein Hinweis auf die Berechenbarkeitstheorie in diesen Artikel, sowie ein Hinweis auf die Analytische Geometrie in den Artikel zu den reellen Zahlen. Das war der Hintergrund für den Einschub. Ich bitte mal um konstruktive Kritik, wie man das vielleicht besser macht, anstattt es pauschal abzulehnen. So wie der Artikel gerade ist, stellt er doch gerade mal Schulwissen dar. Das kennt jeder und da ist auch jeder mit einverstanden. Aber es muss doch Möglichkeiten geben, dem Leser hier auf weitergehendes Wisssen hinzuweisen, was nicht so verbreitet ist. Ich habe ja gehofft, dass ich hier ein wenig Rückendeckung von Wikipedianern mit Kenntnissen der Berechenbarkeitstheorie erhalte, das ist leider nicht passiert. Dabei ist dieser Zusammenhang zwischen theoretischer Informatik und Mathematik so interessant. Wenn man z.B. Berechenbarkeitstheorie auf reellen Zahlen betreiben will, landet man bei der berechenbaren Analysis. Da stösst man dann auf tiefe mathematische Grundlagenfragen (hier auf konstruktivistische Mathematik). Oma Prinzip ja, aber auch die Oma sollte die Gelegenheit haben sich zu tieferen Einsichten hangeln zu können, üblicherweise dadurch realisiert, dass der Hauptteil des Artikels den kanonischen Stoffumfang enthält, es aber auch am Schluss Verweise auf mehr gibt, nicht nur durch einen Link, sondern durch ein kurzes Beispiel, alles in verständlicher, lebendiger Sprache, wie es die Angelsachsen so gut können. --Marc van Woerkom 14:50, 17. Jun 2005 (CEST)

Worin bestehen die Bezüge zu den natürlichen Zahlen, abgesehen von der Tatsache, dass man eine Liste machen kann? Wieso hat diese Liste eher eine Berechtigung, hier erwähnt zu werden, als beispielsweise eine vollständige Liste aller endlichen Graphen oder eine Liste der Isomorphieklassen endlicher Körper der Charakteristik 2 (bei denen sogar die Einbettbarkeit der Teilbarkeit entspricht)?--Gunther 15:11, 17. Jun 2005 (CEST)

Bezüge und Hintergrund habe ich doch gerade ausführlich erwähnt. (Ein Dreieck in der Ebene ist doch nicht das selbe, wie 3 Zahlenpaare, auch wenn letztere zur Beschreibung reichen. Dennoch ist es doch eine wichtige Aussage, dass man auf Koordinatenebene arbeiten kann). Es steckt auch mehr dahinter als nur eine Liste aufstellen zu können. Stichwort Rekursion. Informationsgehalt hat auch etwas mit Überraschungsmoment zu tun. Bei den von Dir genannten Objekten weiss jeder, der halbwegs weiss, worum es sich handelt, dass hier mit natürlichen Zahlen modelliert wird. Bei Programmen ist das nicht der Fall. Ist meiner Meinung nach deutlich informativer. --Marc van Woerkom 16:11, 17. Jun 2005 (CEST)

Beschwer' Dich bitte nicht über unpassende Antworten, wenn Du nachträglich Deinen Beitrag änderst. Meine Fragen beziehen sich auf eine frühere Version.--Gunther 16:16, 17. Jun 2005 (CEST)

Wo findet sich denn der Hauptartikel, in dem man Details zu diesen Fragen nachlesen könnte, also z.B. wie die (kanonische?!) Bijektion $\mathbb N\to P^{(1)}$ konkret aussieht?--Gunther 15:59, 17. Jun 2005 (CEST)

Meines Wissens ist der noch nicht geschrieben worden. Hätte ich schon längst machen sollen, anstatt viel Zeit in relativ fruchtlose Diskussion zu stecken. Es geht in etwa so:

Registermaschinen als Grundlage für berechenbare Funktionen (alles wofür man eine RM angeben kann, ist berechenbar)
Angabe von Registermaschinen durch einen Programmtext (wie der aussieht ist genau spezifiziert)
Systematisches Erzeugen aller möglichen Programmtexte durch Kombinieren der Metazeichen Klammern, Komma, Doppelpunkt, Ziffern, etc.
Unter diesen Texten sind dann neben viel Schrott auch alle RM Programmtexte
Abzählung dieser Texte

Dazu muss man dann noch den ein paar Anwendungen bringen, utm, smn Theorem, Selbstreproduktion Quine sonst leuchtet der Aufwand für den Apparat nicht ein, sowie die Verbindung zu den Wortfunktionen (Turingmaschinen). --Marc van Woerkom 16:24, 17. Jun 2005 (CEST)

Das klingt nach einer ziemlich willkürlichen Reihenfolge, zumindest gibt es keinen inhaltlichen Zusammenhang zwischen einem Programmtext und seinem Nachfolger. Welcher Teil der Struktur der natürlichen Zahlen ist dann noch relevant?

Zu Deinem Argument oben von wegen "Überraschungsmoment erhöht den Informationsgehalt": Ein gewisser Beitrag zum Verständnis des behandelten Begriffes ist mMn nötig. Niemand erwartet die Spanische Inquisition! ;-) --Gunther 16:43, 17. Jun 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Editwar um den 7.5. herum

Ein nichtangemeldeter Benutzer mit einem Dialup-Account von der Telekom hat einen Editwar am Köcheln gahalten. Seineszeichens ein Herr

Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ).

Verehrter Herr Rosenthal, bevor Du zu wissenschaftlichen Themen Streitigkeiten anfängst, leg bitte zuallererst einmal einen Benutzeraccount an, schildere auf der Benutzerseite welche fachlichen Qualifikationen zum Thema Du mitbringst, und diskutiere nach Anmeldung die umstrittenen Dinge hier, wenn Du merkst, dass sie immer wieder reverted werden. Ich kann Dir jedenfalls bestätigen, dass ich in den Vorlesungen "Höhere Mathematik für Ingenieure", mit denen ich damals 3 Semester lang mein Grundstudium angefangen habe, mich nie damit zu beschäftigen brauchte, ob auch Tiere zählen können, und ich kann Dir versichern, dass zumindest Katzen des Zählens nicht mächtig sind. Ich kannte einmal eine Katze, die in einer Etagenwohnung wohnte, wo sie immer mit dem Schwanz an die Tür klopfte, wenn sie nach Hause kam, und es war überhaupt kein Problem, sie dazu zu bringen, an der falschen Tür (eine Etage tiefer) zu klopfen, es mussten nur die Fußmatten vertauscht werden. So, viel Spaß bei der Diskussion über Deine Änderungswünsche. Henning Weede 02:25, 8. Mai 2005 (CEST)

Hallo Henning Weede, das scheint ja eine ziemlich dumme Katze gewesen zu sein. Vielleicht solltest du mal mit dieser Katze den offizielle Intelligenz-Test für Katzen [1] machen. ;) Es gibt wirklich Katzen, die zählen können [2]. Bei Hunden habe ich das noch nicht gehört. Aber egal ob Tiere zählen können oder nicht, ich gebe Dir Recht, ein solcher „_klarer_ Gedanke“ wie ihn Hans Rosenthal äußert, hat in einem Artikel über Mathematik nichts zu suchen. -- (Technomathematiker) -- Spinne !42? 03:05, 8. Mai 2005 (CEST)

Es gibt im Übrigen auch Urvölker, die die Null nicht als solches kennen und andere, die nicht über 1 und 2 hinausgehen. Dies ändert im Endeffekt nichts an unserer Definition von Mensch oder Natürlicher Zahl, daher ist das einfach überflüssig in diesem Artikel. MfG --APPER\^☺☹ 09:31, 8. Mai 2005 (CEST)

Wie unterscheidet APPER\^☺☹ "Nichts" von "Etwas", ohne den Begriff der Zahl zu brauchen ? Und wie würde er diese Unterscheidung treffen, falls er in der Lage wäre, sich in ein Tier zu verwandeln ? (Zugegeben: Das ist einfach.) Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Ich kann da nur für mich sprechen - ich würde die Unterscheidung zwischen "nichts" und "etwas" in etwa so treffen (ich bitte um Entschuldigung; das konnte ich mir nicht verkneifen):

Links ist nichts drin - Rechts ist etwas drin

Und deine Angriffe solltest du dir sparen - sowohl in der Diskussion (Hans darf APPER ruhig mit du anreden, er muss ihn nicht in der dritten Person anreden) als auch in den Zusammenfassungen deiner Beiträge ("Ich unterstelle, dass auch _du_ ein Gehirn hast" - wäre der Kontext nicht so feindselig, könnte man drüber lachen). --SirJective 09:58, 14. Mai 2005 (CEST)

Ein schönes, aber unzureichendes Beispiel: Links ist etwas drin, rechts ist etwas mehr drin. Aber dies schließe ich aus _Hinschauen_ (nicht aus Nachdenken). Wenn ich Deine Bilder auf den Kopf stelle, dann schließe ich: Links ist etwas drin, aber Rechts ist weniger drin. ( "Ich unterstelle, dass auch _du_ ein Gehirn hast" - Welches Gehirn hast Du genau gemeint? Das Erste oder das Nullte? Darum geht es hier letztendlich.) Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Der Gehirn-Spruch war deiner, du solltest noch wissen, was du gemeint hast. --SirJective 11:57, 14. Mai 2005 (CEST)

Hirn hin oder her: Es geht mir nicht um den Spruch, sondern um die _Sache_. Hierzu hast du dich ausgeschwiegen. Hans Rosenthal (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

In gewisser Hinsicht kann man sagen, beide Gläser seien gefüllt. In dem einen ist im Wesentlichen Luft, in dem anderen Wasser. Zahlen abstrahieren aber vom Inhalt. (es träfe sogar zu, wenn das Glas sich im Vakuum befände. Es wäre mit Raum und Licht gefüllt, eventuell kann man sagen, es sei mit Wasser gefüllt.) "Nichts" ist eine Abstraktion und meist enthält sie den (unausgesprochenen) Bestandteil: nichts von (xxx). Ähnliches trifft auf "etwas" zu. Beide, sowohl "nichts", als auch "etwas" aber sind nicht ohne weiteres zählbar, was das Glas schön zeigt. --Hutschi 08:06, 10. Okt. 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Peano

Sollte man vielleicht ausgliedern, auch der halbe Satz zur Peano-Arithmetik macht diese nicht wirklich verständlich.--Gunther 17:32, 23. Mai 2005 (CEST)

Dann ist der Artikel auf Klasse 10 Level angekommen. Das ist zu wenig. Warum nicht, wie meist auch, die schwierigeren Themen (dieses ist so irgendwo zwischen Oberstufe und erstes Semester Mathematik Studium) gegen Ende des Artikels angeben, in kurzer Form, mit Verweis auf Spezialartikel. --Marc van Woerkom 15:48, 17. Jun 2005 (CEST)

Die Peano-Axiome haben aus heutiger Sicht i.w. historische Bedeutung. Der letzte Absatz ist ziemlich knapp und verweist auf den Redirect Peano-Arithmetik, der auf natürliche Zahl zurück zeigt.--Gunther 16:35, 17. Jun 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Kommentare 10. Juli 2005

positive/nichtnegative ganze Zahlen doppelt
Sinn der Formalisierung der Peano-Axiome erklären
Formalisierung etwas unklar: ist bei 5 $\forall x\in\mathbb N$ gemeint?
Wie schon erwähnt, ist Peano-Arithmetik ein Selbstlink, erklärt also nichts

Man könnte noch mehr zur Monoid- oder Verbandsstruktur schreiben.--Gunther 09:59, 10. Jul 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Peano-Arithmetik mit Quantoren

Dies trägt m. E. keinen Deut zur Verbesserung des Artikels bei, Zumal die Eigenschaft x -> x' ist Funktion nicht formalisiert wurde.

[Bearbeiten] Schwächen von Peano

Die "Idee" ist in dieser Form (für mich) nicht verständlich. Mit dem üblichen Mengenbegriff und der Nachfolgerabbildung $x\mapsto x+1$ ist beispielsweise $\mathbb N\cup\Big(\mathbb Z+\frac12\Big)$ kein Modell für Peano, und so lese ich diesen Ansatz. Bitte ausführlicher darstellen, oder weglassen.

Mir ist auch grundsätzlich nicht klar, inwiefern das eine Schwäche der Peano-Axiome ist. Hat nicht z.B. auch ZFC nicht-isomorphe Modelle (in denen dann z.B. die Kontinuumshypothese einmal wahr, einmal falsch ist)? Welcher Zugang zu den natürlichen Zahlen wäre vorzuziehen?--Gunther 14:53, 31. Aug 2005 (CEST)

Ich wusste, das Du auf den natürlichen Zahlen wachst! Vielen Dank schon mal für dEine Verbesserung mit Russel!

Warum ist $\mathbb N\cup\Big(\mathbb Z+\frac12\Big)$ kein Modell für Peano? Was habe ich hier falsch gemacht?

Welches Axiom schließt dieses Modell aus?

Vielen Dank für Deine aufopfernde Hilfestellung!

Grüße --Gerhard Buntrock 15:44, 31. Aug 2005 (CEST)

Die "Schwäche" der Peano-Axiome gehört - wenn sie im Artikel verbleibt - in den Abschnitt mit den Peano-Axiomen, nicht in die mengentheoretische Konstruktion. Sie ist eine wichtige Konsequenz der Beschränkung auf Formeln erster Stufe.

Für die Peano-Arithmetik (die kein Induktionsaxiom für alle Mengen hat, sondern für jedes einstellige Prädikat erster Stufe ein eigenes "Induktionsaxiom"; der Link führt leider immer noch nicht weiter) gilt tatsächlich, dass ihre Modelle nicht isomorph sein müssen. Für die Peano-Arithmetik ist $M:=\mathbb N\cup\Big(\mathbb Z+\frac12\Big)$ tatsächlich ein Modell: Die ersten vier Axiome gelten "offensichtlich", bei den "Induktionsaxiomen" muss man wohl etwas mehr nachdenken.

Für die Peano-Axiome mit dem Induktionsaxiom zweiter Stufe(!) sind alle Modelle isomorph (jedenfalls innerhalb eines gewählten Modells von ZFC). Hier ist

M

kein Modell, denn die Teilmenge $X=\Bbb N$ widerspricht dem Induktionsaxiom. --SirJective 15:49, 31. Aug 2005 (CEST)

Ich hab' den Betrug Peano-Arithmetik mal entsorgt.--Gunther 20:54, 2. Sep 2005 (CEST)

"Peano beschrieb mit seinem Axiom-System zwar die Eigenschaften von natürlichen Zahlen, sah aber keine Notwendigkeit, deren Existenz zu beweisen." In welchem System hätte er sie denn 1889 beweisen können? Tun wir denn heute etwas anderes, als die Axiome auf ZF-Axiome zurückzuführen, die ja ebenfalls nicht bewiesen sind? --FRR 16:44, 31. Aug 2005 (CEST)

Axiome sind einfach nur Definitionen. Daher kann man sie auch nicht beweisen. --DFG 17:48, 23. Okt 2005 (CEST)

Nein, Axiome sind etwas anderes als Definitionen. Siehe Diskussion:Definition für Details.--Gunther 17:58, 23. Okt 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Peano Fehler?

Die Menge $M : = {0,5,7}$ mit $0' = 5$ , $5' = 7$ und $7' = 7$ genügt allen Peano Axiomen. Es ist trotzdem nicht die Menge der natürlichen Zahlen. --DFG 17:46, 23. Okt 2005 (CEST)

Axiom 4.--Gunther 17:55, 23. Okt 2005 (CEST)

Stimmt, ok. Trotzdem habe ich noch eine Frage, und zwar folgende:

Die Menge $M : = {0,2,4,6,8,...}$ , die genau so wie angedeutet angeordnet ist, sind die natürlichen Zahlen? Ich weiss, hier spielen Definitionen/Symbolik einem einen Streich, aber ich weiss nicht recht wie ich damit klar kommen soll. --DFG 18:35, 23. Okt 2005 (CEST)

Ja DFG, diese Menge erfüllt die Peano-Axiome mit

n' = n + 2

. Sie "ist" damit ebenfalls die Menge der natürlichen Zahlen. Das "ist" steht in Anführungszeichen, weil die Peano-Axiome nicht dazu da sind, eine Menge zu beschreiben, sondern nur ihre Eigenschaften. Und jede Menge, die diese Eigenschaften erfüllt, ist geeignet, als "Menge der natürlichen Zahlen" betrachtet zu werden. In einem gewissen Sinne ist die Menge sogar eindeutig: Nämlich bis auf Isomorphie von Modellen. --SirJective 18:48, 23. Okt 2005 (CEST)

Kann man sagen, dass die Peano-Axiome notwendige, aber keine hinreichenden Bedingungen für die Definition von den uns bekannten natürlichen Zahlen darstellen? Sie definieren nicht, was ein Nachfolger ist und wie er sich unterscheidet. Auch

M : = {0,5,7,9,11,8, W e i z e n k o r n, A p f e l,12,13,14...}

, würde die Axiome eventuell erfüllen. Es steht weder da, dass der Nachfolger größer sein soll, noch was er ist. Es sei denn, ich weiß bereits, was eine natürliche Zahl ist, und wie sie sich unterscheidet, gegebenenfalls passen "Weizenkorn" und "Apfel" nicht hinein, aber von der größer-als-Beziehung finde ich nichts. Sehe ich das richtig? Wo liegt mein Denkfehler? (Nachfolger ist in dem Fall immer, was hinter dem Komma nach dem jeweiligen Element steht, und Nachfolger kann nur einmal auftreten, wegen "genau ein Nachfolger".) Mir ist unklar, wie man auf genau die Menge der natürlichen Zahlen kommt. --Hutschi 14:35, 3. Mär 2006 (CET)

@Hutschi: "Auch

M : = {0,5,7,9,11,8, W e i z e n k o r n, A p f e l,12,13,14...}

, würde die Axiome eventuell erfüllen." Klar, es laeuft aber nur auf eine Umbenennung der Zahlen hinaus. Es ergibt sich die gleiche Mathematik, egal ob man die Zahlen als eins, zwei, drei... oder one,two,three bezeichnet. Man kann zeigen, dass alle Mengen, die die Peano-Axiome erfuellen, isomorph sind (d.h. es gibt eine bijektive Abbildung, die die Struktur erhaelt, zwischen diesen Mengen.) Die "groesser als" Beziehung wird mit Hilfe der Peano-Axiome ueberhaupt erst definiert: Der Nachfolger einer Zahl und alle weiteren Nachfolger sind definitionsgemaess groesser als die Ursprungszahl. "Mir ist unklar, wie man auf genau die Menge der natürlichen Zahlen kommt." Was ist unklar? Es gibt eine "erste" Zahl, die nicht Nachfolger einer anderen ist (0 oder 1, je nach Konvention). Die Zahl 2 definiert man als Nachfolger von 1, 3 als Nachfolger von 2 usw. --GK 12:00 20 Mär 2006 (CET)

Danke, GK. Das heißt dann wahrscheinlich, dass die Position die Zahl definiert. Auch

M : = {7,6,5,4,3,2,1,0,...}

, würde die Axiome erfüllen. Dabei gilt dann 6>7 usw. - wenn ich das richtig verstanden habe. Auch jede rationale Zahl würde sie erfüllen, es gibt eine bijektive Abbildung, die die Struktur erhaelt, zwischen diesen Mengen. --Hutschi 14:25, 20. Mär 2006 (CET)

da lassen sich zwei Lesarten der größer-kleiner-Relation erkennen:

(1)sie zeichnet eine Vorgänger-Nachfolger-Beziehung aus (2)sie bezieht sich auf die Metrik bzw. Norm Stellt sich die Frage, ob für einen Peano-Axiome konformen Isomorphismus der Natürlichen Zahlen die gewohnte Metrik notwendig ist, bzw. die Isomorphie bereits hinreichend für die Metrik?

Ich sollte wohl lieber von 'Totalordnungen' als von 'Metrike' sprechen - aber jenerfalls: nein, es ist nicht notwendig. Peanos idée ist aus die Nachfolgerrelation alles anderes auszulesen; was heißt: man sollte alles anderes (z. B. die gewöhnliche Ordnung) zuerst vergessen. JoergenB 02:33, 10. Okt. 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Quelle für Peano-Axiome?

Kann mir jemand eine Quelle dafuer nennen, dass Peano seinerzeit (1892) |N wirklich mit der 0 statt der 1 als Basis eingeführt hat? Ist die Originalarbeit zugänglich? Ich hab ein meinem Hinterkopf, dass es eben genau andersherum war (allerdings auch ohne Quellenkenntnis). --MRA 13:51, 8. Dez 2005 (CET)

Ich meine mal etwas gesehen zu haben, in italienisch und ziemlich unverständlich. Zumindest im Netz scheint es keine vernünftige Version zu geben.--Gunther 13:55, 8. Dez 2005 (CET)

Die (lateinische!) Arbeit hieß (laut en:Peano axioms) Arithmetices principia, nova methodo exposita (Die Prinzipien/Grundlagen der Arithmetik, vorgestellt mit Hilfe einer neuen Methode) [Wirklich methodo? ist ja egal.] Eine englische Übersetzung findet man im Buch

From Frege to Gödel. A source book in mathematical logic, 1879 - 1931,

herausgegeben von en:Jean Van Heijenoort, Harvard Univ. Press, 1967. ISBN 0674324498

Wuzel 12:53, 10. Okt. 2006 (CEST)

[Bearbeiten] = versus :=

es waere hilfreich wenn eine verknüpfung zu einem artikel vorhanden waere, der den unterschied zwischen = und := erläutert.

":=" ist Standardnotation für "wird definiert als", aber ein Lexikonartikel kann derartige Kurzschreibweisen nicht voraussetzen, deshalb habe ich sie durch "=" ersetzt; dass es sich um Definitionen handelt, ist aus dem Kontext klar.--Gunther 11:04, 23. Jan 2006 (CET)

Von „http://de.wikipedia.org../../../n/a/t/Diskussion%7ENat%C3%BCrliche_Zahl_7362.html“

Diskussion:Natürliche Zahl

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Singular/Plural

[Bearbeiten] 0 als natürliche Zahl

[Bearbeiten] Redirect Peano-Arithmetik

[Bearbeiten] Blackboard Bold N vs IN

[Bearbeiten] Auch die 1 hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung

[Bearbeiten] Zum Abschnitt "Primzahlen"

[Bearbeiten] Ein Wort -- eine Zahl

[Bearbeiten] N^*

[Bearbeiten] N ist Syntax einer Programmiersprache?

[Bearbeiten] Editwar um den 7.5. herum

[Bearbeiten] Peano

[Bearbeiten] Kommentare 10. Juli 2005

[Bearbeiten] Peano-Arithmetik mit Quantoren

[Bearbeiten] Schwächen von Peano

[Bearbeiten] Peano Fehler?

[Bearbeiten] Quelle für Peano-Axiome?

[Bearbeiten] = versus :=

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