Diskussion:Definition

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Eine Definition ist die Bestimmung eines Begriffs - mehr bräuchte in dem Lemma nicht zu stehen, das in seiner gegenwärtigen Form ein paradigmatischer Kandidat für Ockhams Rasiermesser ist, bewacht, wie's scheint, hier von einem mächtigen Troll...

• "Zeichenketten" sind keine wesentlichen Merkmale von Definitionen, sonst könnten z.B. in schriftlosen Sprachen keine Begriffe geschöpft oder ausgelegt werden.

Doch doch: auch sprachliche Zeichen (= Wörter, Laute …) sind semiotisch betrachtet ‚Zeichen‘, d.h. auch ein in einer natürlichen Sprache artikulierter (= ausgesprochener, gesungener, geflüsterter …) Satz ist eine Zeichenkette. Sprache i.w.S. besteht immer aus Zeichen. Ohne Zeichen könnte man überhaupt nichts artikulieren, also auch keine Definition. --Aristeas 08:34, 21. Nov. 2006 (CET)

• Deswegen sind Definitionen aber nicht, wie in dem Lemma behauptet wird, wesentlich sprachlichen Darstellungen wahrnehmbarer Sachverhalte. Die sprachliche Darstellung wahrnehmbarer Sachverhalte geschieht durch (wahre) Sätze. Definitionen stellen ab auf Begriffe.

"Was sich nicht auf eine natürliche Sprache (also eine für Menschen verständliche Sprache) zurückführen lässt, hat keinen Definitionswert" - was soll dieser Satz besagen? Was ist eine Rückführung auf eine natürlich Sprache? Und was soll die abgewehrte Nicht-Definition sein, die sich nicht auf eine natürliche Sprache zurückführen liesse? Das ganze Argument hat für mich die Form: "Was nicht farbig ist, ist keine Katze." Freilich hat jede Katze irgendeine Farbe, das aber ist nicht das Merkmal, um das des bei der näheren Bestimmung von Katzen geht. Analog die Rolle der Sprache im Hinblick auf das Wesen der Definition. Die ist ein sprachliches Phänomen neben anderen, was sie aber von diesen unterscheidet, ist nicht ihre sprachliche Verfasstheit, sondern eben das, was macht, dass es sich bei ihr um eine Definition und z.B. kein Wort oder Urteil handelt. Martin 12.11.2006 (11.55 h)

• • Rationale Argumente! Hier geht's um was anderes! Das Lemma wird noch in 10 Jahren unverändert da stehen, weil der Troll, der es bewacht, in seinem Leben keine andere Aufgabe hat, als es immer wieder hinzuklicken. Wikipedia eignet sich weniger zur Darlegung von Geistesbegriffen, ist dafür aber, was Emperie betrifft, ganz gut.

Neutralität der Seite ? ´bin etwas irritiert über diese Seite. Ich würde denken, dass es Aufgabe von wikipedia ist, zunächst einmal den allgemeinen Sprachgebrauch zu erfassen und darzustellen. Es gibt sicherlich viele Genies auf dieser Seite, aber kann man persönliche Superideen nicht zunächst zurückstellen und z.B. auf die Deutungshoheit, die man durch eine eigenwillige Eingangsdefinition gewinnen kann, verzichten ? Man kann ja dann immer noch einen Abschnitt Kritik oder Stellungnahme oder Gegenposition bringen, wo man sich austobt. --Karl-Hagemann 21:44, 27. Feb 2006 (CET)

Was ist eine "sprachliche Verkürzung"? Ist etwas "länger" als die Sprache? Wie will/kann man das wissen? Man ist doch immer schon in der Sprache, auch beim Definieren, das nicht, wie hier insinuiert, die Sprache an die Dinge trägt. In der lateinischen Wurzel steckt, was wirklich geschieht: Abgrenzung (von Merkmalen zu einem Begriff): die und die gehören dazu, die und die dadurch nicht. Diese Abgrenzung findet aber innerhalb der Sprache statt.

Unter einer "sprachlichen Verkürzung" versteht der Leser normalerweise: Einen ansonsten langwierigen Sachverhalt in möglichst wenigen und zutreffenden Wörtern zu umschreiben. Beispiel: Eine Kugel springt wild zwischen anderen Kugeln hin und her. Man kann auch sagen: Diese Kugeln folgen einem Naturgesetz. Aber das ist niedere Physik. Also nichtig, oder ? Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) (19012006)

Definition = Erklärung? Das scheint mir etwas gewagt. Eine Definition ist doch eher eine Festlegung oder Bestimmung eines Begriffs. Flups

Ja, sehe ich auch so. Beispiele sind auch nicht Teil der Definition, wenn es sich irgendwie vermeiden lässt. Ausnahmen sind Teil der Definition. Wie das hier aber wohl gemeint ist, soll es eher die Bedeutung wie in "Keine Regel ohne Ausnahme" haben. Allgemein sollte (darf) in einem Artikel etwas wie "meines Erachtens" usw. nicht stehen. Genug gemeckert, ich schäme mich auch schon, dass ich hier nichts selber verbessere :( --Vulture

Bin noch nicht so ganz zufrieden. Nach meinem Verständnis erklärt eine Definition nichts, sondern sie legt etwas fest. Oder sehe ich das zu mathematisch? Flups

Da stimme ich Flups zu. Außerdem denke ich, dass im Gegensatz zur Erklärung, die auf Logik und/oder Fakten basiert (basieren sollte), bei der Definition oft sogar noch eine gewisse Willkür dazugehört. Dass ein Meter eben gerade so lang ist, wie er ist, ist eine willkürliche Definition. Laut meinem gigantisch umfangreichen (einbändigen :-) Lexikon ist eine Definition <Copyrightverletzung an> die Festlegung des Inhalts eines Begriffs durch Angabe bezeichnender Merkmale und des Unterschiedes von anderen naheliegenden Begriffen <Copyrightverletzung aus>. -- Ben-Zin

Eine Erklärung ist die Abbildung eines Sachverhaltes in einer Theorie. Wenn Definitionen etwas erklären, was wäre denn dann noch der Unterschied zwischen ihnen und Theorien? - Außerdem kommt in dem Eintrag nicht heraus, dass man mit Definitionen Begriffe erschaffen kann: indem man Kriterien zusammenstellt. Eine Definition, müsste es heißen, beschreibt oder schöpft einen Begriff durch die Bestimmung seiner Merkmale. - Die "Rückführung" eines "Definiendum..." usf. - zu esoterisch für eine erste Bestimmung! Desgleichen: "Jede Definitionskette lässt sich nur auf eine natürliche Sprache und die in dieser Sprache verständlichen Grundaussagen...". So etwas, wenn schon, weiter unten...

?Alle Definitionen sind wissenschaftlich von geringem Wert.? F. Engels, Anti-Dühring, MEW 20, 77. ?Definitionen sind für die Wissenschaft wertlos, weil stets unzulänglich. Die einzig reelle Definition ist die Entwicklung der Sache selbst, und diese ist aber keine Definition mehr.? F. Engels, 20, 578. Diese Aussagen von Engels halte ich für übertrieben und überkritisch. Definitionen können sehr wertvoll sein. Die Mathematik ist ohne Definitionen nicht denkbar. rho

Mathematik ist ja auch keine Wissenschaft, sondern ein Glaubenssystem. Wer ist fanatischer: Naturwissenschaftler oder Mathematiker?

ich versuche mich mal an einem größeren Umbau - also nicht erschrecken - wird nicht gleich fertig sein. Wems zu viel ist, soll sich melden! Hati 15:28, 12. Dez 2003 (CET)

Inhaltsverzeichnis 1 Brauchen auch Klingonen Definitionen? 2 Einige kleine Erwägungen zu scheinbar scheiternden Definitionen 3 Definitionssatz 4 Fahrraddefinition scheitert 5 Mathematische Definitionen 6 Seitensperre 7 Kritik an der Neufassung 8 Definitionen sind nur Namen 9 Vorschlag zur Übung 10 Primzahldefinitionsbeispiel 11 Ein Wort an die notorischen Sperrer 12 Einige kleine Erwägungen zu überflüssigen Ausschreibungen 13 Einen Weblink hinzugefügt 14 "Begriffsschöpfung" als von "Defintion" unterschiedener Begriff? 15 Der Begriff "Definition" ist fragwürdig 16 DEfinitionen innnerhalb der Wikipedia 17 Minimale Länge

[Bearbeiten] Brauchen auch Klingonen Definitionen?

Wenn - ja, dann sollte man auf das "menschliche" in der Definition der "Definition" verzichten. Alternativ könnte man Links zu den teletubbischen, bayerischen (ein Unterschied zwischen einem Menschen und einem Bayer besteht allemal, schließlich ist ja nicht jeder Mensch ein Bayer, gelt), bäuerlichen, schlumpfigen etc. Definitionen einbauen, und den Namen dieses Artikels zu „menschliche Definition“ ändern. Und, wenn man schon dabei ist, könnte man auch "sprachlich" durch allgemeinere (basalere) Konzepte ersetzen. --Vvj 11:23, 21. Feb 2006 (CET)

[Bearbeiten] Einige kleine Erwägungen zu scheinbar scheiternden Definitionen

Der Eintrag Definition ließ mich mit einem mulmigen Gefühl zurück. Was mich beschäftigt, ist die Rolle von Definitionen in den Geisteswissenschaften und darüber hinaus im alltätglichen Leben, und ich werfe einmal einige Fragen (mit etwas Wittgensteinlektüre) in den Raum, ohne danach sagen zu können, wie ein Artikel über die Rolle von Definitionen sie berücksichtigen müßte.

Definitionen sollen Klarheit schaffen, Wissen darüber, was mit einem Wort gemeint ist. Mit einigen Worten scheint uns das nun ganz und gar nicht zu glücken: Kunst, Literatur, Roman, Fiktionalität, oder um das Themenfeld zu wechseln: Gerechtigkeit. Jede Definition, die hier gewagt ist, zieht sofortigen Widerspruch auf sich, sobald sie tiefer geht und Positionen riskiert.

Wissenschaftlich scheint es das angeratene Verfahren zu sein, daß man sich einfach zuerst einmal die Dinge ansieht: in unserem Fall Romane, Kunstwerke, Werke der Literatur - und dann untersucht, was sie auszeichnet. So würde man es machen, wenn man, sagen wir, Definitionen von Graphit, Sandstein und Katzengold geben sollte. Was in den Naturwissenschaften ein empirisches Verfahren ist: auf die Dinge zu sehen, und ihre Eigenschaften zu bestimmen, entpuppt sich bei den Worten Kunst, Literatur, Roman... bereits als Schritt in einen Zirkel: je nachdem, welche Werke man auswählt, hat man über andere Qualitäten zu sprechen. Je nach der Definition der eigenen Auswahl, ändert sich die Definition, die man am Ende bewisen wird - und ist es überhaupt wissenschaftlich, schon eine Definition zu haben, wenn man doch erst eine deduzieren will? Man kann im Ausweg sagen: Dann beschreiben wir eben den Sprachgebrauch. Doch befindet man sich damit nur in einem neuen Zirkel: Ist der Sprachgebrauch der Vergangenheit bindend, der als vergangener dem eigenen Zugriff entzogen ist, dann ist gar nichts von dem, was heute Kunst oder Literatur ist, mit einem dieser Worte zu bezeichnen (Kunst war um 1700 der Bereich technischer Erfindungen, Literatur der Bereich der Wissenschaften). Geht man vom gegenwärtigen Sprachgebrauch aus, so ist man um keinen Schritt weiter, denn dann riskiert man sofort, daß eine neue Gruppe von Künstlern gegen den gefundenen Begriff rebelliert und ganz andere Kunst in den Raum stellt. Man ist dann soweit, wie man war, als man einfach selbst festlegte, was nach der eigenen Definition Kunst oder Literatur sein sollte, und genau die eigene Vorabdefinition dann als die korrekte bewies.

Könnte man meinen, daß man unter diesen Umständen besser damit aufhörte, diese Worte zu definieren. Ich weiß jedoch nicht, ob unser kulturelles und literarisches Leben nicht gerade vom Definitionsversuch lebt, vom Streit darüber, was Literatur und Kunst der Gegenwart und der Vergangenheit sein soll.

Wer Schülern beibringt, über Literatur und Kunst kompetent zu sprechen, der bringt ihnen gerade nicht bei, die Dinge glatt und kurz zu definieren. Wir fordern erste Definitionen und zeigen dann auf, wie wenig damit die Tiefe der zu analysierenden Dinge erkannt ist, und wir benoten gerade die Aufsätze mit den besten Noten, über deren Definitionen die Verfasser sehr lange und klug diskutieren.

Was wäre, wenn unsere Gesellschaften als diskutierende, pluralistisch organisierte, sich Felder schüfen, auf denen jeder angreifbar werdend definieren soll, auf daß gerade dort ein Streit um die Dinge geführt wird: Ein Streit darüber, welche Werke es verdienen sollen, für Kunst und Literatur erachtet zu werden? Und was wäre, wenn es sich in unseren pluralistischen Gesellschaften eben darum durchaus keine mächtigere Gruppe erlauben kann, an diesen Diskussionen nicht teilzunehmen. Wer nicht darauf dringt, daß auch Romane von Frauen im Schulunterricht besprochen werden, sorgt dafür, daß hier Fragen der Geschlechter einseitig oder gar nicht mehr behandelt werden. Wer es zuläßt, daß man die Kunst schlicht als das Schöne definiert, der erlaubt, daß im Schulunterricht womöglich alle Debatten über die soziale Sprengkraft, das Revolutionäre mancher Kunstwerke ausgeschaltet werden. Wer eine bestimmte Definition von Gerechtigkeit zuläßt, riskiert, daß er auf diese am Ende keinen Enfluß mehr hat, also muß die Frage nach der Gerechtigkeit von allen Gruppen offen gehalten werden.

Es gibt Bereiche des Lebens, in denen wir gezielt Diskussionen vermindern. Dort, wo wir mit Hämmern und Nägeln umgehen, wollen wir, daß man uns, wenn wir auf einer Leiter stehen und nach dem Hammer bitten, keine Debatte darüber vom Zaun bricht, was den ein Hammer ist. Wir wollen, daß man uns den Hammer reicht und richten Kinder frühzeitig darauf ab, einfach das Ding mit dem Wort zusammenzusehen und einfach immer den Hammer zu reichen, wenn wir nach einem verlangen. In diesen Bereichen wird nicht einmal das Definieren eingeführt. In anderen Bereichen kommen die Kinder in die Gesellschaft hinein und verwenden die Worte glatt und fraglos und wir arbeiten mühselig daran, daß sie die Sache immer komplzierter sehen und daß sie am Ende überall einschreiten, wo irgendjemand einfach mal eben so Kunst oder Literatur oder Gerechtigkeit definiert, weil Zivilcourage dazu gehört, hier das Feld für alle bedrohten Minderheitenpositionen offen zu halten.

Ich denke also darüber nach, ob die oben gegebene Definition von Definitionen erfaßt wo und wann die Definitionen nötig werden, ob wirklich immer Klarheit und Eindeutigkeit gesucht ist, oder in manchen Bereichen nicht gerade mit dem Definieren die Bereitschaft zum Widerspruch beigebracht wird, zum Widerspruch gegen jede sich festigende, einer einzelnen Gruppe Macht gebende Definition.

--Olaf Simons 20:34, 16. Nov 2004 (CET)

"Wer eine bestimmte Definition von Gerechtigkeit zuläßt, riskiert, daß er auf diese am Ende keinen Enfluß mehr hat, also muß die Frage nach der Gerechtigkeit von allen Gruppen offen gehalten werden." - Das ist eine der kürzesten Offenbarungen zum streitzündenden und Gewalt eskalierenden Unterdrückungsmechanismus zwischen Mächtigen und Ohnmächtigen, die mir je begegnet ist. Würden Juristen, deren vornehmlichste Aufgabe es ist, Gerechtigkeit herzustellen, einen Konsens unterstützen zwischen allen Gruppen unserer Gesellschaft, könnten sich auch alle Individuen daran halten. Die einzig zutreffende Definition von Gerechtigkeit ist so kurz und einfach, daß die Allmacht der Juristen in eine umgewandelt werden könnte, die der Gemeinschaft dient und nicht irgendwelchen einzelnen Gruppen oder Individuen. Nehmen Juristen so viel Einfluß auf die Verbreitung von Wissen, wie ich das in Wikipedia feststellen konnte durch ein bißchen Mitarbeit, daß sie sogar in die Gestaltung des Definitionsgegriffes eingreifen, muß das nur deutlich gemacht werden, um gravierende Fehlentwicklungen unserer Gesellschaft in den Griff zu bekommen. Wer von Machtinteressen beeinflußt ist, kann nicht so klar denken, wie das zur Darstellung und Verbreitung von Wissen für alle wünschenswert ist.

[Bearbeiten] Definitionssatz

Habe den ursprünglichen Satz wieder eingefügt. Eine Definition ... ist die genaue Bestimmung eines Begriffes durch Beschreibung und/oder Erklärung seines Inhalts. die Hervorhebungen dürften die obigen Kritikpunkte wohl abschwächen (zB Definition = Erklärung).

Eine Erklärung eines Begriffes mit ... ist die antwort auf die Frage ... finde ich nicht gerade glücklich, für allem wenn XY vorkommt. -Hati 10:12, 13. Apr 2005 (CEST)

Aussendung oder Aufnahme jedweder Form von Wahrnehmung: Wahrnehmung wird weder aufgenommen noch ausgesandt, sie findet statt. Ist hier "Informtion" gemeint? -Hati 13:52, 25. Nov 2005 (CET) hat sich ja schon köngst erledigt - guten morgen Hati -Hati 13:55, 25. Nov 2005 (CET)

[Bearbeiten] Fahrraddefinition scheitert

Zitiere: Dies könnte so aussehen: Ein Fahrrad ist ein von Muskelkraft angetriebenes Fortbewegungsmittel mit zwei Rädern.

• Ein einachsiger Handkarren, der von einem Esel gezogen wird?
• Ein Tretboot mit zwei Schaufelrädern?
• Grenzfall: Das Laufrad.
• Grenzfälle: Das Dreirad, das Einrad.
• Präzision: Zahnräder zählen nicht?

Ok, keine Übertreibung. Aber ein Vorschlag:… Ein lenkbares Fortbewegungsmittel mit zwei hintereinander über den Untergrund rollenden Rädern, das im Normalbetrieb von deren Kreiselkräften aufrecht gehalten wird und durch Übertragung von Muskelkraft auf wenigstens eines der Räder angetrieben werden kann. --Purodha Blissenbach 04:04, 16. Jul 2005 (CEST)

Hier geht es nicht darum, ein Fahrrad "wissenschaftlich" exakt zu definieren, sondern darum, Ablauf und Problematik einer Definitionsfindung an einem Beispiel darzustellen. Insofern wäre Dein Beitrag wichtig, da damit gezeigt werden kann, wie eine Definition mit zunehmendem Erkenntnisgewinn verändet und verfeinert werden muss. Vielleicht lässt sich das in den Artikel einbauen? (Musste die destruktive Formulierung "scheitert" unbedingt gewählt werden? Sowas schreckt vor weiterentwicklung ab.) -Hati 10:30, 16. Jul 2005 (CEST)

Merkwürdig, wo ist denn meine Antwort abgeblieben? Also noch mal:

Sorry, ich habe das Überschriftenmachen von jemand beigebracht bekommen, der bei "Bild" gelernt hat.

Ich warte noch ein bischen und versuche dann, ggf. mit weiteren Kommentaren hier, das in den Artikel zu integrieren.

Ich will ohnedies noch mehr zu Definitionen in der Mathematik und Physik schreiben.

--Purodha Blissenbach 12:39, 19. Jul 2005 (CEST)

Habe _ Eine Definition (syn. Begriffserklärung) ist somit eine Beschreibung eines komplexen Sachverhaltes, die mit einer Festlegung des Gültigkeitsbereiches verbunden ist.

Diese Beschreibung enthält neben der Darstellung des Sachverhaltes auch eine Etymologie des Begriffes sowie eine Beschreibung der historischen Entwicklung des Begriffes. _ entfernt. Denn - belanglos.

Nach der bisherigen Fahrraddefinition wäre auch ein Auto ein Fahrrad mit sogar 4 (5) Rädern und der Druck aufs Gaspedal erfordert Muskelkraft.

Bitte mit -~~~~ unterschreiben. Und Texte bitte genaulesen, dazu gibt es schn eine Stellungnahme. -Hati 13:18, 27. Aug 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Mathematische Definitionen

Vgl. Diskussion:Mathematik#Definition_von_ROHA.

Mathematische Definitionen benötigen keine Axiome, da sie keine Aussagen machen. Axiome werden ausschließlich dazu benötigt, um Aussagen zu beweisen.--Gunther 17:00, 10. Aug 2005 (CEST)

Ich tendiere eher dazu dem anderen Benutzer recht zu geben. Wie sich zum Beispiel im Fall der Peano-Axiome nachlesen lässt, wird mit deren Hilfe die Menge N der natürlichen Zahlen definiert. Gruß 790 18:23, 10. Aug 2005 (CEST)

Dann scheint unklar zu sein, was eine Definition von einem Beweis unterscheidet. Der edit war von Vvj auf jeden Fall hinderlich für die Klärung. Soll ich den Artikel schon sperren oder kriegt Ihr das auch so hin? Jesusfreund 18:33, 10. Aug 2005 (CEST)

Es gibt zwei Bedeutungen des Wortes "Axiom": Die tatsächlich verwendeten "echten" Axiome sind beispielsweise ZFC oder ein äquivalentes System. Das sind die Axiome im Sinne von Axiom. Daneben gibt es "unechte" Axiome wie z.B. Abzählbarkeitsaxiome oder Trennungsaxiome, das sind charakterisierende Eigenschaften im Rahmen von Definitionen. Mit der Grundlage ZFC sind auch die Peano-Axiome nur derartige charakterisierende Eigenschaften. Mir ist unbekannt, ob es formale Systeme gibt, die die Peano-Axiome als echte Axiome verwenden; es ist jedenfalls nicht üblich.

"Echte" Axiome sind Aussagen, "unechte" Axiome enthalten freie Variable (im Fall der Peano-Axiome die Variable "Menge der natürlichen Zahlen").--Gunther 18:48, 10. Aug 2005 (CEST)

Kurz mein Senf: Gunthers Version war richtig, die andere glatt falsch. --DaTroll 18:56, 10. Aug 2005 (CEST)

Es tut mir leid wegen Edit-War. Die Problemlösung von Jesusfreund ist absolut korrekt.

Zitat von Jesusfreund: "Dann scheint unklar zu sein, was eine Definition von einem Beweis unterscheidet.". Vielleicht so: "Definition" unterscheidet sich von "Beweis" so ähnlich wie die Existenz eines Schnabeltieres in Australien von dem Vorhang der Expedition zur Feststellung dieser Existenz unterscheidet? Auch ist mir irgendwie genehmer "Definition" mit "Existenz im Rahmen eines formalen Systems" gleichzusetzen als mit dem "Namen", was ja der Auffassung von ").--Gunther, wenn ich es recht sehe, entspräche. Ist denn die Aussage der Form "die Definition von XY lautet ..." nicht recht üblich? In dieser Aussage wird offensichtlich zwischen der Bezeichnung eines Sachverhaltes und seiner Definition unterschieden. Also ist die "Definition" nicht mit der "Bezeichnung" gleichzusetzen. Oder mache ich irgendwo einen Fehler? ").--Vvj

Ich korrigiere meinen Vorschlag zu "In der Mathematik ist eine Definition lediglich die Einführung eines neuen Namens für etwas bereits Bekanntes […]"--Gunther 19:38, 10. Aug 2005 (CEST)

Das sieht mir sehr nach dem altbekannten Streit zwischen Nominalisten und Realisten im Mittelalter (so 10. JH?) aus´, den man aus Ecos "Der Name der Rose" kennt... Gruß und Dank für Eure Diskussionsbereitschaft (und Vvj ist angemeldet, hurra!) Jesusfreund 19:49, 10. Aug 2005 (CEST)

Nein, daran wollen wir gar nicht rühren. Vvj glaubt, dass zu einer Definition auch eine (mathematische) Existenzaussage gehört. Das ist aber nicht üblich, Beispiel für die Definition eines nicht existierenden Objektes findet sich in der oben verlinkten Diskussion (Frey-Kurve).--Gunther 19:54, 10. Aug 2005 (CEST)

Vielleicht lässt sich das Mißverständnis klären, wenn wir bedenken, dass wir (als Denker) gleichzeitig mit mehreren formalen Systemen zu tun haben können. Dabei gibt es diese Systeme für einander nicht (Gar nicht!), sind gewissermaßen parallele (ach was, nicht mal das! noch weniger!) Welten. Für uns existieren die ganzen formalen Systeme (samt der in jedem der Systeme existierenden Sachverhalte) jedoch gleichermaßen (na ja, je nach individueller kognitiven Leistungsfähigkeit.). Also können Sie (Gunther) ein Sachverhalt im System "A" definieren, und im formalen System "Mathematik" wird dieser Sachverhalt weiterhin wunderbar nichtexistieren. Und tatsächlich können Sie doch die Frey-Kurve, wenn ich es recht sehe, nicht aus dem für die heutige Mathematik geltenden Axiomensatz ableiten (schon wegen des Nichtvorhandenseins der benötigten Primzahlen). Oder liege ich falsch? --Vvj

Was das ganze mit mehreren formalen Systemen zu tun haben soll, verstehe ich nicht. Die verwendeten Axiome sind für die Definition einfach irrelevant, nur die zugrundeliegende Sprache wird benötigt. Nochmal das einfachere Beispiel leere Menge:

Definition: Eine Menge E heißt leere Menge, wenn gilt.

Wo habe ich welches Axiom verwendet? Erst wenn ich behaupte, dass es genau eine solche Menge gibt, brauche ich Axiome. Würde ich das "Axiom der leeren Menge" oder das "Extensionalitätsaxiom" aus ZFC weglassen, dann gäbe es u.U. (in einem Modell) gar keine oder mehrere solche Mengen. Definieren kann ich sie trotzdem.--Gunther 20:24, 10. Aug 2005 (CEST)

Definieren = sich über die allgemeingültige Bezeichnung eines Sachverhalts einigen? Vom Wort her: de - finis = zum Ende, also den Bereich abstecken, bis wohin die Bezeichnung reicht und wohin nicht mehr. Jesusfreund 20:45, 10. Aug 2005 (CEST)

Im Prinzip ja. Aber muss dieser Sachverhalt real sein?--Gunther 20:46, 10. Aug 2005 (CEST)

Ist die "zugrundeliegende Sprache" nicht ebenfalls als ein formales System zu verstehen? Und demnach auf dem dazugehörigen Axiomensatz (wie auch immer er zusammengesetzt ist) aufgebaut? Wie ich berits gesagt habe, aus der Existenz eines Sachverhaltes in einem formalen System keineswegs seine existenz in einem anderen formalen System folgt (die beiden Systeme haben ja keinen Bezug zu einander). Eigentlich ist es nicht mal der gleiche Sachverhalt in beiden Systemen, sondern Sie als Handhaber beider Systeme verknüpfen die Sachverhalte des einen Systems mit den Sachverhalten des anderen zwecks der Beschreibung des einen Systems mittels des anderen. So gesehen handelt es sich in Ihren Beispielen um Bezeichnungen und nicht um Definitionen. --Vvj

Die zugrundeliegende Sprache ist Teil der formalen Systems, und der Axiomensatz ist in dieser Sprache formuliert. Die Axiome verwenden also die Sprache, nicht umgekehrt. Beispielsweise hat die in ZFC verwendete Sprache u.a. die Symbole . Und Definitionen sind Bezeichnungen.--Gunther 20:58, 10. Aug 2005 (CEST)

Für eine Grenze ist nicht (weniger) wichtig ob sie "limes", "Grenze" oder sonstwie bezeichnet wird, sondern, dass sie trennt und was sie trennt (vielleicht noch, wie sie zustandekam). Also Axiomen! --Vvj

Gehen wir systematisch vor, nochmal zur obigen Definition "leere Menge": a) Ist diese Definition unzulässig? Wenn ja, inwiefern? b) Verwendet sie Axiome? Wenn ja, wo?--Gunther 21:10, 10. Aug 2005 (CEST)

Hallo Gunther. Es könnte sein, wir streiten um Begriffe (Wörter, Bezeichnungen), was ja recht nutzlos ist. Wenn Ihnen persönlich oder der einflussreicher Mehrheit (Minderheit) lieber gefällt, den Terminus "Definition" synonym zum Terminus "Bezeichnung" zu verwenden, kann ich mich damit, wenn auch widerwillig, arrangieren. Nur bräuchten wir dann nicht irgendeine Bezeichnung für ein Sachverhalt, den man in der Alltagssprache als "Definition" bezeichnet und mit dem man, viel eher als eine Bezeichnung, eine (knappe) Erklärung (also etwas, was im Nachhinein eine sichere Unterscheidung zwischen dem, was dazu gehört und dem, dass es nicht tut, ermöglicht) meint? Eine "Erklärung" kommt, zumindest in der Alltagssprache, auch viel näher einem "Beweis" als einer "Bezeichnung". Die ganze Wikipedia ist meiner Meinung nach aus nichts Anderem als aus um Beispiele und Veranschaulichungen erweiterten Definitionen aufgebaut. Und in der Math. gibt es für z.B. eine "lehre Menge" neben einer Bezeichnung bzw. dem Namen (das wäre - Ø) eine Definition, die sich von der Bezeichnung (wie wir das in Ihrem Beitrag oben gut sehen können) deutlich unterscheidet. --Vvj

Eine Erklärung ist in der Mathematik zwar wichtig für das Verständnis der Definition, aber nicht für die Definition selbst. Eine Eigenschaft trifft auf ein Objekt zu, oder nicht. Das bedarf keiner weiteren Erklärung.

Die o.a. Definition führt nicht eine Bezeichnung für die leere Menge ein, sondern sie führt die Bezeichnung "leere Menge" als Kurzschreibweise für eine kompliziertere Formel ein ().--Gunther 11:58, 20. Aug 2005 (CEST)

Ein Zitat von Ihnen: "Definitionen sind zwar nur Namen (auch wenn Roha das nicht glaubt),...". Aus Ihr folgt, "D." ist ein Name bzw. eine Bezeichnung.

Noch ein Zitat von Ihnen: "Die o.a. Definition führt nicht eine Bezeichnung für die leere Menge ein...". Daraus folgt, eine "D." ist zumindest nicht die Bezeichnung selbst, allenfalls der Vorgang der Zuordnung einer Bezeichnung zu einem Sachverhalt, wobei die Beschaffenheit des Sachverhaltes (in der Math. also - aus welchen Axiomen und wie es abgeleitet wird) ausschlaggebend ist.

Sie widersprechen sich selbst, soweit ich das überblicke. Das ist ein Zustand, den es durch harte Arbeit (vielleicht sich auch mal als Schüler betätigen...) in der Zukunft zu vermeiden gilt.

Im Übrigen betrachte ich diese Diskussion nach Ihrer Verkündung in der Diskussion zur "Math." als ebenfalls abgeschlossen, aber nur, wenn es Ihrerseits keine Einwände dagegen gibt, natürlich. --Vvj

Ich habe mich unpräzise ausgedrückt, diesen Fehler habe ich zugegeben und meinen Vorschlag für den Artikel korrigiert (19:38, 10. Aug 2005, s.o.). "Leere Menge" ist die Bezeichnung (das definiendum), die o.g. Formel oder die Beschreibung "enthält keine Elemente" das definiens. Die symbolische Bezeichnung ist dafür nicht nötig.

"Meine Verkündung" in Diskussion:Mathematik wurde von ROHA aus einer anderen Diskussion dorthin kopiert, das bezieht sich nicht auf die laufende Diskussion. Ich bleibe bei dem genannten Vorschlag von 19:38, 10. Aug 2005, und solange Sie nicht auf die Punkte a) und b) aus meinem Beitrag von 21:10, 10. Aug 2005 eingehen, sehe ich auch keinen Grund, davon abzuweichen.--Gunther 13:31, 22. Aug 2005 (CEST)

Na ja, nach Formulierungsschwierigkeit sah es für mich nicht aus... eher schon nach einer grundlegenden Fehlauffassung, da aber die Verwendung von Euphemismen eine sehr verbreitete Praxis in unserer Kultur darstellt, wollen wir es bei einem "unpräzisen Ausdruck" belassen. Bei Ihrem Vorschlag von 19:38, 10. Aug 2005 wollen wir das dagegen nicht tun. Etwas "bereits Bekanntes" hört sich für mich nach einem definierten Sachverhalt an. Für Sie wohl nicht, denn Sie wollen ja dieses "bereits Bekannte" erst definieren. Nun, vielleicht ist Ihnen genehm, uns mitzuteilen, um welche Art Bekanntschaft sich dabei handelt? Ich hoffe doch sehr, dass daraus etwas Deutlicheres wird als aus Ihrem "eben mehr" in der Diskussion zur "Math." (ich hoffe zwar darauf, rechne aber kaum damit.). --Vvj

Es ging bei der "unpräzisen Ausdrucksweise" im wesentlichen darum, deutlich zu machen, dass Definitionen keine Aussagen sind und deshalb auch nichts mit Axiomen zu tun haben.

In einer Definition wie "eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei Teilern" müssen "natürliche Zahl", "genau zwei" und "Teiler" bereits bekannt sein. Bei diesen Begriffen bedeutet "bekannt" "definiert". In der obigen Definition der leeren Menge muss die "Element-von"-Relation als "bekannt" vorausgesetzt werden. Die "Element-von"-Relation wird aber selbst nicht definiert, sondern gehört zu den undefinierten Grundkonzepten, die trotzdem als "bekannt" gelten (müssen).

Ich warte immer noch gespannt auf die Antworten zu a) und b).--Gunther 18:23, 22. Aug 2005 (CEST)

Zunehmend hört es sich vernünftiger an... ja-ja... Na, dann wollen wir: Eine Definition eines zu einem bestimmten System gehörender Sachverhalt wird von den bereits definierten (Sie ziehen vor, diesen Begriff mit "bekannt" zu doubeln, - gut, ist in Ordnung, wenn vorher geklärt.) Sachverhalten aus diesem System abgeleitet. Aber, Ihrer Meinung nach gibt es zusätzlich zu dieser Art Bekanntschaft (Definition liegt vor, die von den bereits definierten Sachverhalten abgeleitet wurde, und die Definitionen dieser Sachverhalte ja ihrerseits von den anderen wiederum bereits definierten Sachverhalten "abstammen" müssen, usw.) eine weitere "Art der Bekanntschaft", die ohne Definition auskommt. Und genau zu der Beschaffenheit dieser "Art Bekanntschaft" wollte ich von Ihnen Näheres erfahren, aber Sie haben es scheinbar damit nicht eilig, sich dazu zu äußern. Verraten Sie uns doch, bitte, was für "undefinierte Grundkonzepte" Sie doch meinen. Und bezeichnet man nicht auch die Axiome, auf denen ein System aufbaut, als Grundkonzepte dieses Systems? Die wären in der Tat nicht in der Art definiert, wie alle anderen in dem System vorkommenden Sachverhalte. Nun, genau das besagt der strittige Satz in dem Artikel! --Vvj

Mit den Grundkonzepten sind "Menge", "Element von", "gleich" usw. gemeint. Sie werden nicht definiert, weil es keine tieferliegenden bereits definierten Begriffe gibt. Axiome sind Aussagen und damit etwas völlig anderes. Sie formulieren Eigenschaften dieser Grundkonzepte.

Ceterum censeo... a), b)?--Gunther 14:34, 23. Aug 2005 (CEST)

Ein nachträglicher Einschub (vom 27. September 2005) an dieser Stelle, um ein Mißverständnis auszuräumen. Die Behauptung: "Mit den Grundkonzepten sind "Menge", "Element von", "gleich" usw. gemeint. Sie werden nicht definiert, weil es keine tieferliegenden bereits definierten Begriffe gibt." ist falsch. Der Begründer der Mengenlehre, Georg Cantor, hat die in Frage stehenden Mengenbegriffe sehr wohl und tiefergehend erklärt, d. h. definiert: "Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens -- welche Elemente der Menge genannt werden -- zu einem Ganzen." Die von Cantor benutzten "tieferliegenden" und bereits wohlbekannten Begriffe springen ins Auge: "Zusammenfassung", "wohlunterschiedener", "Elemente", "Ganzen". Cantor beruft sich bei seiner in natürlicher Sprache formulierten Erklärung (= Definition) auf die einzigen uns verfügbaren Erkenntnisformen: die Anschauung und das Denken. Mehr kann man von einer modernen Definition nicht erwarten, und weniger sollte man sich auch nicht erhoffen. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Ich spreche von der axiomatischen Mengenlehre. Dass Cantor das Wesen des mathematischen Mengenbegriffs noch nicht ganz durchschaut hatte, zeigt bekanntlich die russellsche Antinomie.--Gunther 10:07, 27. Sep 2005 (CEST)

Die Russellsche Antinomie ist ein logisches Problem und hat mit der hier diskutierten Frage nach dem Begriff der "Definition" nichts zu tun. Das ist ein klassisches Mißverständnis oder, im schlimmsten Falle, Ablenkungsmanöver. "Ich spreche von der axiomatischen Mengenlehre." besagt doch nichts anderes, als daß Du den Begriff der "Menge" verwendest. Und eben die Beschreibung oder Erklärung oder _Definition_ dieses Begriffs der "Menge" hat Cantor auf die natürliche Sprache zurückgeführt. (Streng genommen hat er diesen Begriff überhaupt erst _eingeführt_.) Er hat an keiner Stelle den Begriff der "Logik" verwendet, den er auch nicht brauchte, um den Begriff der "Menge" überhaupt _einzuführen_. Um es noch einmal ganz klar zu machen: Dieser Artikel handelt von den "Definitionen". Damit Russell überhaupt auf den Gedanken kommen konnte, daß der "Mengenbegriff" einen Widerspruch enthalten konnte, mußte Russell die Definition eines solchen Begriffes zuvörderst akzeptiert und hiernach weiter ausgewertet haben. Russell äußert sich an keiner Stelle über Cantors _Definition_ einer Menge, er sagt nur etwas sehr Wichtiges über die _logischen Implikationen_ einer gewissen Auffassung des Mengenbegriffs. Diese Russellschen Antinomien haben also mit der Definition nach Cantor sowenig zu tun wie: "Eine Primzahl ist eine Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern." und: "Ein natürlicher Teiler kann eine Primzahl teilen." -- Also nichts.Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Siehe z.B. en:Set#Definition. Cantors "Definition" ist natürlich die allgemein übliche Anschauung, aber keine mathematische Definition.--Gunther 11:48, 27. Sep 2005 (CEST)

Am Beispiel der Gleichheit sieht man übrigens auch, wie sich Axiom und Definition gegenseitig ausschließen. In ZFC ist Gleichheit ein undefinierter Begriff, und das Extensionalitätsaxiom formuliert eine Eigenschaft dieses Begriffes. Man könnte stattdessen auch die Gleichheit definieren, indem man festlegt: Zwei Mengen Parser-Fehler (Unbekannter Fehler:): X,Y</math&gt; heißen gleich, wenn <math>\forall T\colon(T\in X\Leftrightarrow T\in Y)

gilt. Also entweder undefiniert+Axiom oder Definition.--Gunther 14:50, 23. Aug 2005 (CEST)

Es geht voran! Hurra! Nun sind wir so weit, dass wir den strittigen Satz, "In der Mathematik werden Definitionen auf Grund von Axiomen gebildet." in einer etwas abgewandelten Form, "In der Mathematik werden Definitionen auf Grund von Grundkonzepten gebildet." als gültig betrachten, nicht wahr? Jetzt bleibt uns nur noch übrig, das Verhältnis zwischen dem Sachverhalt "Axiom" und dem Sachverhalt "Grundkonzept" ("Grundsatz" wäre doch genauso gut?) zu klären. Meiner Meinung nach sind die Sachverhalte, die Sie als Grundkonzepte bezeichnen, nichts Anderes als Aussagen (genauer Grundaussagen = Axiomen) der Form "Es gebe gleich so, dass 'A' und 'A' gleich, aber 'A' und 'B' ungleich wären." sind.

Ich habe den Verdacht, dass Sie das System "Mathematik" (oder irgendein anderes formales System) unberechtigter Weise mit einem der Beschreibung des primeren Systems dienenden System (im Bezug auf System "Mathematik" wäre es die "mathematische Sprache") gleichsetzen bzw. verwechseln. Das wäre sehr problematisch für das Verständnis, denn das sekundäre (das beschreibende) System gibt uns die Möglichkeit die Grundkonzepte des primeren Systems (die ja in dem primeren System nicht definierbar bzw. ableitbar, da axiomatisch, sind) doch noch zu beschreiben, also auf eine andere Art zu "definieren". Ihnen sind also die Grundkonzepte tatsächlich "bekannt", nur sind sie es auf einer anderen Ebene. Die Sachverhalte, die in dem primeren System definierbar (also von den Axiomen ableitbar) sind, sind Ihnen sogar auf zwei etwas verschiedene Arten "bekannt" als innerhalb des primeren Systems abgeleitete (definierte) Sätze, aber auch als Beschreibungen auf der Ebene des sekundären (beschreibenden) Systems. Diese Betrachtung löst aus meiner Sicht das Missverständnis.--Vvj

Ich verstehe das als Zustimmung, den derzeitigen Text zu ändern. Ansonsten warte ich auf Antworten auf a), b).--Gunther 12:06, 24. Aug 2005 (CEST)

Offenbar habe ich den Ausmaß des Miesverständnisses auf Ihrer Seite maßgeblich unterschätzt. Leider... Wohl auch Ihre Bereitschaft, sich mit der Frage auseinander zu setzen... Meine vorherige Mitteilung soll eine Zustimmung sein?! Wofür denn?! Na jedenfalls nicht zu Ihrer Artikeländerung. Und sagen Sie mal (Ihre Punkte a) und b)!), was soll die Definition der "lehren Menge" mit der Definition von "Definition" zu tun?! Sie haben doch gar nichts davon verstanden, was ich oben geschrieben habe... überhaupt mit der Absicht, es zu verstehen, gelesen? Sie Ärmster... Leben Sie wohl. Schade um einen an sich guten Projekt...

Bei den Punkten a) und b) sollten Sie mir an einem Beispiel illustrieren, inwiefern Axiome für Definitionen benötigt werden. Um diese Frage geht es doch.--Gunther 15:03, 24. Aug 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Seitensperre

Ich habe die Seite auf die Version vor dem strittigen Punkt zurückgesetz. Bitte einigt euch hier auf der Disk.seite. -- tsor 18:37, 10. Aug 2005 (CEST) @Jesusfreund: Du bist zu langsam, Herr Kollege;-)

Oh, bei Seitenschutz bin ich lieber zu langsam als zu schnell und lasse Dir gern den Vortritt. Aber bei Vandalen und Polittrollen sieht es schon anders aus... (Z.B.:Wie lange sollen wir Consulfreund seine destruktiven Ambitionen noch durchgehen lassen?) Gruß zurück! Jesusfreund 18:43, 10. Aug 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Kritik an der Neufassung

Ich beschränke mich auf die mathematischen Aspekte, von Philosophie habe ich keine Ahnung.

• Abschnitt "Identitäten vs. Gebrauchsdefinitionen": Wie weiter oben auf dieser Seite erklärt, gibt es Axiome im eigentlichen Sinne und Axiome im weiteren Sinne als Teilbedingungen einer Definition. Diese Unterscheidung sollte auch hier deutlich werden. Was die Gruppenaxiome mit Nichteindeutigkeit zu tun haben, verstehe ich nicht. Wenn das eine sinnvolle philosophische Aussage ist, meinetwegen, vom mathematischen Standpunkt klingt das sehr merkwürdig. --Gunther 02:19, 6. Sep 2005 (CEST)

Da ich mich zwischen deine Punkte gedrängt habe, habe ich deine Unterschrift zu jedem Punkt hnizugefügt.

Mir fehlt in diesem Abschnitt die Erklärung der "Identitäten". Alle mathematischen Definitionen, die mir einfallen, sind "Gebrauchsdefinitionen": Es werden stets Relationen definiert, d.h. bereits "benennbare" Beziehungen zwischen Objekten neu benannt. Definiert wird also im Beispiel des adäquaten Kalküls nicht der Begriff "adäquat", und auch nicht der Begriff "adäquater Kalkül", sondern die Relation "ist ein adäquater Kalkül", die auf ein Objekt X angewandt werden kann. Selbst die Definition der leeren Menge definiert eine Relation. Die naive Definition der Konstanten {} durch "{} ist diejenige Menge, die keine Elemente hat" scheitert in der Prädikatenlogik (so wie ich sie gelernt habe) daran, dass es keinen Quantor "diejenige" gibt. Stattdessen definiert man die Relation "X ist eine leere Menge" durch "X hat keine Elemente", und beweist dann, dass diese Relation nur auf ein Objekt X zutrifft.

Auch die Gruppenaxiome definieren eine Relation, denn sie beginnen ja mit "Das Paar (G, *) heißt Gruppe, wenn ...", und danach wird eine zweistellige Relation für G und * genannt: "G nichtleer und * eine zweistellige Verknüpfung auf G ist, so dass gilt: ...". Diese Relation trifft auf ziemlich viele Objekte (G, *) zu.

Zunächst einmal sind also alle mathematischen Definitionen mehrdeutig in dem Sinne, dass sie auf mehrere Objekte zutreffen können, und man muss jeweils untersuchen, ob das durch eine Relation definierte Objekt eindeutig bestimmt ist. Hier spüre ich deutlich die Abgrenzung zu den in der Überschrift des Abschnitts genannten "Identitäten". --SirJective 19:59, 6. Sep 2005 (CEST)

• Abschnitt "Explizite vs. Rekursive Definitionen": Man sollte erwähnen, dass "indem sich die stufenweise Elemination des Definiendums auf die natürlichen Zahlen abbilden lassen muß" ein Informatik-spezifisches Problem ist. Mathematisch sind rekursive Definitionen mit jeder Wohlordnung möglich, also im Prinzip mit beliebigen Indexmengen. --Gunther 02:19, 6. Sep 2005 (CEST)

Ja, die Abbildung der "stufenweisen Elimination des Definiendums" auf die natürlichen Zahlen ist nur eine von vielen Möglichkeiten der Vermeidung von Rekursionsproblemen, die aber schon bei der Ackermann-Funktion auf Probleme stößt, weil die Funktion zwei Parameter hat. Eine Lösung ist hier vermutlich die Rückführung auf eine geeignete andere wohlgeordnete Menge.

An dieser Stelle sehe ich aber ein anderes Problem. Auch innerhalb der Mathematik haben verschiedene Teilgebiete verschiedene Vorstellungen davon, was eine Definition ist. Im Sinne der Prädikatenlogik sind "rekursive Definitionen" z.B. unmöglich, weil das Definiendum nicht Teil der Objektsprache ist, das Definiens aber eine Formel der Objektsprache sein muss. (Siehe dazu weiter unten.)

Eine mir (aus einer Informatik-Vorlesung über Fixpunktgleichungen) bekannte Lösung dieses Problems besteht darin zu zeigen, dass für jede Funktion s: IN -> IN und jede Konstante c in IN die Relation "f(0) = c, f(n+1) = s(f(n))" auf genau eine Funktion f: IN -> IN zutrifft. Damit ist es dann z.B. möglich, die Funktion f(n) = 3*n durch Anwendung der genannten Relation auf s(n) = n+3 und c = 0 zu definieren. Diese Art der Definition wurde dort "induktive Definition" genannt, weil sie einerseits auf der vollständigen Induktion von IN basiert, andererseits eine Verallgemeinerung für Funktionen von Mengen auf Mengen besitzt, die zu einem Induktionsprinzip auf anderen Mengen führt (auf kleinsten Fixpunkten bestimmter Mengenabbildungen). Dieses Definitionsprinzip setzt aber voraus, dass die Objektsprache über eine hinreichend aussagekräftige Mengenlehre verfügt (der Beweis der Existenz basiert auf der Konstruktion einer bestimmten Teilmenge von IN x IN, von der man zeigt, dass sie der Graph einer Funktion mit der gewünschten Eigenschaft ist). --SirJective 19:59, 6. Sep 2005 (CEST)

Danke, recht habt Ihr. Meine Definition von Nichtzirkularität bezog sich tatsächlich gar nicht auf rekursive Definitionen, sondern nur auf eine Klasse von Definitionen welche ein Vokabular definiert. -- Schäufli 00:20, 7. Sep 2005 (CEST)

• Abschnitt "Notwendigkeit von wissenschaftlichen Definitionen": Der Satz "Zwar sind, wie sich formal beweisen läßt Definitionen notwendiger Weise weder wahr, noch falsch" ist Unsinn. Man kann das nicht "formal beweisen", sondern Definitionen sind keine Aussagen und damit so wahr oder falsch wie beispielsweise ein Apfel. --Gunther 02:19, 6. Sep 2005 (CEST)

Man kann und muß schon sagen, daß Definitionen Sätze sind. Es ist schließlich richtig zu sagen, daß Theorien Klassen von Sätzen sind und natürlich dürfen Theorien Definitionen beinhalten. Definitionen sind damit Sätze von besonderen Charackter. In ihnen kommen Vokabeln vor die, vorher nicht definiert wurden und erst durch den definierenden Satz eine (möglicher Weise nur partielle) Bedeutung erhalten. Aus einer Theorie zu schlußfolgern heißt ja gerade, die Theorie als Prämisse zu nehmen, und zu zeigen, daß bei wahr werden dieser auch die Konklusion wahr wird. Und durch diese Wahrheitsannahme des definierenden Satzes wird der neuen Vokabel quasi eine Bedeutung aufgezwungen.

Den Beweis dafür, daß Tautologien und Kontradiktionen keine Definitionen sein können (und damit wie alle anderen sinnvollen Sätze auch, kontingent sind), kann ich Dir bei Bedarf zumailen (nach K. Essler: Wissenschaftstheorie I, Definition und Reduktion. München, 1982).-- Schäufli 17:27, 6. Sep 2005 (CEST)

((General disclaimer: Alles was ich schreibe, ist mit IMHO und AFAIK zu lesen und nicht notwendig allgemeingültig!)) Prädikatenlogisch stehen Definitionen außerhalb der Objektsprache, können also keine Sätze (der Objektsprache) sein. Sobald das Definiendum der Objektsprache hinzugefügt wird (dabei entsteht eine neue Objektsprache), lässt sich die Definition "R(X) :<=> P(X)" als Satz "für alle X: R(X) <=> P(X)" darstellen. Da die Wahrheit einer Satzes von einem betrachteten Modell der Objektsprache abhängt (außer bei Tautologien), sind Definitionen in diesem Sinne nicht notwendig wahr oder falsch, sondern werden dies je nach betrachtetem Modell. Normalerweise hat man aber schon ein Axiomensystem, mit dem man arbeitet, und man möchte, dass die Definition zu einem wahren Satz wird. Also fügt man üblicherweise den entstehenden Satz als weiteres Axiom hinzu!

Aus der Definition der Relation "istleer(X)" durch "für alle y: nicht y in X" wird durch Hinzufügen der Relation "istleer" zum Alphabet {"in"} der Satz "istleer(X) <=> für alle y: nicht y in X", der dem Axiomensystem der alten Sprache hinzugefügt wird, um ein Axiomensystem der erweiterten Sprache zu bilden.

Definitionen sind damit keine Axiome, sondern metalogisches Handwerkszeug (Kurzschreibweisen, die prinzipiell eliminierbar sind). Will man aber eine Definition zum Bestandteil der Objektsprache machen, muss man sie zum Axiom machen, wenn man dieselbe Wirkung erzielen will.

Schärfli, mir scheint, wir meinen hier dasselbe mit anderen Worten. (Die Quelle meines Wissens ist eine auf "Ebbinghaus, Flum, Thomas, Einführung in die Mathematische Logik" basierende Modelltheorie-Vorlesung.) --SirJective 19:59, 6. Sep 2005 (CEST)

• Abschnitt "Beispiele": Es handelt sich bei dem mod-Beispiel um zwei grundlegend verschiedene Begriffe. Der erste Begriff lässt sich per

auf den zweiten zurückführen. Verfolgt man die verwendeten Definitionen (insbesondere von ), ist die zweite Definition nicht nennenswert expliziter als die erste.

--Gunther 02:19, 6. Sep 2005 (CEST)

Die "Gebrauchsdefinition"

(man beachte die von mir eingefügten Doppelpunkte, die im Artikel noch mit keinem Wort erwähnt werden) entspricht dem von mir oben beschriebenen Schema der Definition einer "neuen" Relation durch eine "alte" Formel, die "Explizitdefinition" ist der Spezialfall der Definition einer "neuen" Funktion (als spezieller Relation) durch eine "alte" Formel, die sich im ersterem Schema durch

beschreiben lässt. Die Definition einer neuen Funktion durch eine alte Funktion kann aber auch ein separat behandelbarer Fall sein, der in meinem Buch auf die Betrachtung von Relations-Definitionen zurückgeführt wird. --SirJective 19:59, 6. Sep 2005 (CEST)

Neben der offensichtlichen Frage worin sich Gebrauchsdefinitionen überhaupt von expliziten Definitionen unterscheiden, lag das Modulo-Beispiel tatsächlich schief. Ich habe es durch das Primzahlbeispiel ersetzt. Daran wird wieder schön deutlich, daß es die Definition durchaus zuliese, daß andere (nicht-natürliche) Zahlen ebenfalls als Primzahl bezeichnet werden können (im Gegensatz zur Definition darüber). Gerade dieser Punkt warf für die Philosophie der Grundlagen der Artithmetik (siehe Frege) Probleme auf. -- Schäufli 00:07, 7. Sep 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Definitionen sind nur Namen

Einst lehrte mich ein selbsternannter Weiser: "Beweise setzen keine Definitionen voraus, Definitionen sind nur Namen." Steht denn der Weise im Angesicht dieser Seite noch zu seiner Aussage? Oder macht er einen Rückzieher ? Ich würde es ihm raten und nicht verübeln, obwohl er sich allzuofft als der Weisheit letzten Schluß betrachtet. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Ich neige gelegentlich zu sagen: Als der Weißnicht letzten Stuß.

Zitat SirJective: "Definitionen sind damit keine Axiome, sondern metalogisches Handwerkszeug (Kurzschreibweisen, die prinzipiell eliminierbar sind)."--Gunther 13:07, 24. Sep 2005 (CEST)

"Definitionen sind damit keine Axiome," -- Hat auch (meines Wissens) nie jemand behauptet. Also: Was wolltest Du damit sagen ? Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Es ging um den Klammerzusatz, der in etwa dasselbe wie der von Dir zitierte Satz aussagt.--Gunther 14:53, 24. Sep 2005 (CEST)

Aber wenn ich diese Aussage von A nach B lese, dann heißt das: "Definitionen sind ... Kurzschreibweisen, die prinzipiell eliminierbar sind". Warum schlagen wir uns dann auf dieser Diskussionsseite zum Wikipedia-Artikel "Definition" überhaupt mit solchen "eliminierbaren" Kurzschreibweisen herum ? Langsam fühle ich mich von Dir verarscht. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Ist es das, was Du wolltest: mich mit Nichtigkeiten um den Schlaf bringen ?

Ich sehe es so: In der Mathematik gibt es zum Begriff der Definition wenig zu sagen. Die wirklich spannenden Fragen betreffen Definitionen in anderen Bereichen, und darum geht es im Artikel hauptsächlich. Deshalb finde ich auch die mathematischen Beispiele nur begrenzt sinnvoll.--Gunther 15:20, 24. Sep 2005 (CEST)

Ich sehe es genau andersherum: Die einzige Wissenschaft, die der Definitionen bedarf, auf ihnen aufbaut und wesentlich von ihnen lebt, ist die Mathematik. Diese braucht messerscharfe Begriffserklärungen, damit sie den Gesetzen der Logik standhalten kann. Alle anderen Wissenschaften können auf solche Schärfe verzichten, sofern nicht die Mathematik (die Logik) ihnen das Messer zwangsweise wetzt. Wo dies nicht der Fall ist, werden Definitionen mehr und mehr schwammig. (Aber hier sind wir natürlicherweise bei unserem Dilemma angelangt: Keine Definition ohne _natürliche_ Sprache. Und die Sprache selbst ist wandelbar und schwankend.) Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Aber eben der mathematische Formalismus erlaubt es auch, präzise Definitionen einfach hinzuschreiben. "Natürliche Zahl mit genau zwei Teilern", und alles ist gesagt. Man muss sich nicht um genus proximum oder was auch immer kümmern.--Gunther 16:23, 24. Sep 2005 (CEST)

Du sprichst mir aus der Seele: "Natürliche Zahl mit genau zwei [natürlichen] Teilern", "und alles ist [zur Definition der Primzahl] gesagt". Einer Meinung. Nun fasse Deine Worte nur noch zusammen, und die Einleitung für den Artikel "Primzahl" ist vollkommen. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Die Einleitung würde kürzer werden, aber nichts an Gehalt verlieren.

Falls Du Dich auf "verschiedene" und "nämlich..." beziehst: das ist mir wurscht, aber wie Du siehst, ist es ziemlich vergebliche Mühe, diese Wörter immer wieder rauszulöschen. Falls Du Dich auf die Sätze danach beziehst: Die Einleitung ist nicht nur für die Definition da, sondern auch, um zu erklären, was die Definition soll.--Gunther 16:43, 24. Sep 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Vorschlag zur Übung

Man definiere den Begriff "genau" in allen seinen Facetten. Eine lohnende Übung für manchen. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Eine logisch-mathematische Definition würde fürs erste schon hinreichen.

[Bearbeiten] Primzahldefinitionsbeispiel

"Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei verschiedenen natürlichen Teilern." Die Präzisierung "verschiedenen Teilern" erscheint hier auf den ersten Blick sinnvoll, da Natürliche Zahlen natürlich auch mehrere gleiche Teiler haben können. Allerdings ist das Beispeiel wohl keine echte Primzahldefinition, siehe Teilen; exakter wäre es wohl zu sagen, dass eine Primzahl eine Natürliche Zahl ist, die keine Teiler außer den beiden trivialen hat. Deshalb erscheint es mir sinnvoll, dieses doch etwas zweifelhafte Beispiel so nicht im Artikel zu belassen. Das nur so eingeworfen, ohne die Artikelhistorie auf zwingende Gründe für die derzeitige Gestalt des Beispiels überprüft zu haben. -- RainerBi ✉ 10:43, 24. Sep 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Ein Wort an die notorischen Sperrer

Wenn einige Beiträger dieser Wikipedia-Seite (ich nenne namentlich Rainer Bielefeldt) nicht einmal bereit sind, einfache sprachliche Korrekturen von anderen, ihnen mißliebigen Beiträgern zu akzeptieren und zuzulassen, dann stimmt etwas nicht in der grundsätzlichen Struktur des Wikipedia-Prinzips. Denn dann ist einigen wenigen, die sich persönlich kennen oder gut verstehen mögen, Tür und Tor geöffnet für jede Willkür auf diesen Seiten der Wikipedia. Ich führe genau Buch über die betreffenden Personen und alle ihre Sperrungen. Ich werde diese Personen zur gegebenen Zeit vor das öffentliche und demokratische Wikipedia-Tribunal stellen. (Das Schlimmste ist allerdings, daß ich mich jedesmal neu einloggen muß, um solch eine Warnung loszuwerden.) Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Für die Zeit einer Benutzersperrung werden auch keine anderen Beiträge zugelassen. Du bist gesperrt. Warte das Ende Deiner Sperre ab, dann sehen wir weiter. --Unscheinbar 10:49, 24. Sep 2005 (CEST)

Nur so am Rande und für Dein Logbuch: auch Drohungen wie die oben von Dir abgelegte werden bei uns als persönlicher Angriff gewertet. --Unscheinbar 10:52, 24. Sep 2005 (CEST)

Ein unscheinbarer Mensch schrieb: "Du bist gesperrt." -- Wirklich ? Wie hätte ich denn die letzten sprachlichen Korrekturen (die jemand unscheinbares offenbar übersehen hat) in dem Artikel "Definition" unterbringen können, falls ich gesperrt worden wäre ? Manche träumen sich ihre vermeintliche Allmacht einfach zusammen... Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

[Bearbeiten] Einige kleine Erwägungen zu überflüssigen Ausschreibungen

Der Artikel zum Thema "Definition" wird gewiß nicht lesbarer oder verständlicher, wenn jemand "d.h." durch "das heißt" oder "usw." durch "und so weiter" oder "bzw." durch "beziehungsweise" ersetzt. Obwohl es hier wesentlich um den richtigen Gebrauch von Wörtern und Worten geht: Eine gängige Abkürzung auszuschreiben erschwert die Lesbarkeit. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

In dieser Frage haben wir einige ganz einfache Regeln, die wir auch im Handbuch niedergelegt haben: wir schreiben möglichst alle Abkürzungen im Text aus. Der Platz dafür ist vorhanden und das maschinelle Vorlesen, zum Beispiel für Blinde und stark Sehbehinderte, wird erleichtert. --Unscheinbar 14:41, 24. Sep 2005 (CEST)

Ich bitte um einen Link auf das betreffende Wikipedia-Handbuch. Vielen Dank. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Wikipedia:Handbuch - steht zentral verlinkt in den "Letzten Änderungen". --Unscheinbar 14:56, 24. Sep 2005 (CEST)

Die Programme für maschinelles Vorlesen verstehen ohne Ausnahme die im Deutschen gängigen Abkürzungen und lesen sie korrekt und verständlich vor. Kein Sehbehinderter ist also benachteiligt, wenn auf den Wikipedia-Seiten die üblichen Abkürzungen verwendet werden. (Diese Abkürzungen auszuschreiben bedeutet vielmehr: Bandbreite und Speicherplatz verschwenden.) Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

[Bearbeiten] Einen Weblink hinzugefügt

Am Ende dieses Wikipedia-Artikels habe ich einen Weblink hinzugefügt, dessen Inhalt diesen ganzen Artikel fast vollständig ersetzen könnte. Er behandelt den Begriff der "Definition" in einer sehr verständlichen und äußerst stringenten Art und Weise. Der Inhalt ist aus einem Guß. Und er ist vor allem von Anfang bis Ende durchdacht und durchformuliert. Wir sollten den Verfasser darum bitten, seinen Artikel als Ersatz für den jetzigen Artikel "Definition" zur Verfügung zu stellen. Ich bin ein Freund der Klarheit, hier herrscht Unklarheit, in jenem Artikel herrscht nur Klarheit. Schaut einmal unter dem Link "Definitionen" vorbei und sagt mir und uns, was ihr davon haltet. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

[Bearbeiten] "Begriffsschöpfung" als von "Defintion" unterschiedener Begriff?

Das Lemma ist nicht unproblematisch, da aber jede bisher versuchte Besserungs scheitert, ist anzunehmen, dass es so von der Mehrheit gewollt wird. "Die genaue Bestimmung eines Begriffes durch Beschreibung und/oder Erklärung seines Inhalts" unterstellt einen vorgängigen Begriffsinhalt im Definieren. Der Besserungsversuch, eine Defintion sei die Eingrenzung von Merkmalen zu einem Begriff, dessen Sache (Definiendum) danach in Eigenschaften (Definiens) erkannt wird, unterstellt eine Begriffsschöpfung im Definieren. Die beiden Auffassungen sind unverträglich. In Wikipedia fällt die Entscheidung für erstere. Da dem Definineren dadurch nicht mehr die Begriffsschöpfung eignet, sollte man einen eigenen Eintrag Begriffsschöpfung erwägen?

[Bearbeiten] Der Begriff "Definition" ist fragwürdig

Eine Definition ist eine "Verdichtung eines Sachverhalts" in einer vorgegebenen natürlichen Sprache. Wenn ich aber versuche, den Begriff "Definition" zu verdichten, dann stoße ich auf ernsthafte Schwierigkeiten. Wie kann ich diesen "Begriff" "Definition" definieren ? Einerseits ist jede Definition eine "Verdichtung eines Sachverhalts", andererseits ist ein "Begriff" eine Aufweichung der ursprünglichen Überlegung, will heißen: Wie kann ich etwas definieren, was auf noch nicht definierten Begriffen beruht ? Oder: 1 ist nicht 2. Ich muß alle vier Terme erklären, kann aber keinen Anfang finden, weil ich "ist" nicht ohne "nicht" und "2" nicht ohne "1" erklären kann. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Wo liegt der Haken ? PPS: Eine Definition des Begriffs "Definition" könnte so lauten: Eine Definition ist eine kurze sprachliche Darstellung eines Sachverhalts. Der Sachverhalt selbst bestimmt den Inhalt, die verwendete natürliche Sprache die Form der Darstellung. Je genauer Inhalt und Form übereinstimmen, desto besser ist die sprachliche Darstellung des Sachverhalts. Eine "sprachliche Darstellung" bedeutet hierbei: Eine in irgendeiner beliebigen natürlichen Sprache verständliche Ausdrucksweise.

Es ist völlig egal, was Du Dir (oder ich mir) unter "Definition" vorstellst. Ohne Belege, wer das wo so sieht, ist das nicht viel wert.--Gunther 00:58, 19. Okt 2005 (CEST)

Eine brauchbare Erklärung dessen, was ich meine, findet sich auf der Wiki-Seite http://de.wikipedia.org/wiki/Tod. Darin sind die wesentlichen Stichwörter und -worte enthalten. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

PS: Und wenn für Dich eine Aussage nur dann einen Wert hat, wenn sie von anderen (wer immer diese sein mögen) bestätigt wird, dann bist Du nur ein armes Würstchen. Selbstdenken kann aus Dir eine Wurst machen, und echtes Handeln einen Verwurster. Aber ein echter Denker wirst Du dadurch noch immer nicht.

Siehe WP:WWNI Punkt 2 sowie Wikipedia:Quellenangaben. Wenn Du das nicht akzeptieren willst, siehe Wikipedia:Right to leave.--Gunther 11:03, 19. Okt 2005 (CEST)

Definition per definitionem?? Was für eine abgehobene Kacke. Wer soll's am Ende noch begreifen? Der Pole, der Chinese, oder der Deutsche, der hier zufällig hineingerät? Ihr habt alle ein Rad ab! Grüße F.

[Bearbeiten] DEfinitionen innnerhalb der Wikipedia

Ein Mackel der Wikipedia ist es das sie meist nicht in die Fachbereiche oder Wissenschaftsparten getrennte Definitionen macht. Oder oft auch nicht benennt aus welchen Bereich die Definition für einen Terminus ist. z.B. Institution ist in der sozialen Arbeit anders definiert als in der Soziologie und wieder anders in den Wirtschaftswissenschaften. Die gehört differenziert. Diese Kategorienschemata werden häufig nicht aufgegriffen. Ich schreib das mal bei Definition hin. Es gilt aber allgemein.

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[Bearbeiten] Minimale Länge

Die Forderung, dass eine Definition minimale Länge haben sollte lese ich hier zum ersten mal. Dies scheint mir völlig absurd, da sonst eine Definition nicht in einer verständlichen Sprache möglich wäre. Die deutsche Sprache ist z.B. meist wortreicher als die englische Sprache. Eine Definition kann jedoch auch in Deutsch formuliert werden. Ferner ist es praktisch nicht entscheidbar, was die kürzste Darstellung ist. In diesem Sinne könnte gar nicht entschiedenen werden, ob eine Definition wirklich eine Definition ist.

Was in dem Artikel steht ist folglich Unsinn.