Cantors zweites Diagonalargument

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Cantors zweites Diagonalargument ist ein mathematischer Beweis dafür, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist. Der Mathematiker Georg Cantor fand ihn im Jahr 1877.

Mit seinem ersten Diagonalargument zeigte Cantor, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, er gab eine umkehrbar eindeutige Abbildung (eine Bijektion) zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der rationalen Zahlen an. Diese Abbildung erlaubt es anschaulich, alle rationalen Zahlen in eine unendlich lange Liste (eine Folge) untereinander zu schreiben.

Durch Widerspruch zeigte er, dass es für die reellen Zahlen keine solche Liste gibt, d.h. keine Bijektion zu den natürlichen Zahlen.

Im Gegensatz zur allgemeinen Meinung ist dieser Beweis nicht Cantors erster Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis wurde 1874, drei Jahre vor seinem Diagonalargument, veröffentlicht. Der erste Beweis arbeitet mit anderen Eigenschaften der reellen Zahlen und kommt ganz ohne ein Zahlensystem aus.

[Bearbeiten] Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

Sei (z_i) irgendeine Folge reeller Zahlen im halboffenen Intervall [0,1[. Wir werden zeigen, dass es mindestens eine Zahl in diesem Intervall gibt, die nicht in der Folge (z_i) vorkommt. Da diese Argumentation für jede beliebige Folge (z_i) gilt, kann es keine Folge geben, die alle reellen Zahlen im Intervall [0,1[ enthält.

Die Zahlen in dieser als gegeben vorausgesetzten Folge sehen in ihrer Dezimalbruch-Entwicklung so aus:

Hier sind die z_i reelle Zahlen und die a_ij Dezimalstellen dieser reellen Zahlen. Die Diagonalelemente sind hervorgehoben, aus diesen konstruieren wir eine neue Zahl

Jede Zahl z_i der Folge definiert auf folgende Weise eine Dezimalstelle x_i von x.

Wenn a₁₁ = 5 ist, setzen wir x₁ = 4, sonst x₁ = 5. Mit dieser Definition ist sichergestellt, dass x eine andere Zahl ist als z₁.

Wenn a₂₂ = 5 ist, setzen wir x₂ = 4, sonst x₂ = 5. Mit dieser Definition ist sichergestellt, dass x eine andere Zahl ist als z₂.

Allgemein legen wir für jede natürliche Zahl i fest:

Wenn a_ii = 5 ist, setzen wir x_i = 4, sonst x_i = 5. Mit dieser Definition ist sichergestellt, dass x eine andere Zahl ist als z_i.

So gehen wir durch die ganze Folge und erhalten eine Zahl x, die sich von allen Zahlen in der Folge unterscheidet, und die größer als 0 und kleiner als 1 ist. Diese Zahl nennt man die Diagonalzahl, die der Folge (z_i) zugeordnet wird.

Die Folge (z_i) enthält also nicht alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Wählt man eine andere Folge, erhält man möglicherweise eine andere Diagonalzahl, aber wir haben bewiesen: Für jede Folge von Zahlen zwischen 0 und 1 gibt es eine Zahl zwischen 0 und 1, die nicht in dieser Folge enthalten ist. Deshalb enthält keine Folge alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Das Intervall [0,1[ ist deshalb überabzählbar. Damit ist auch ganz überabzählbar.

Strenggenommen ist der Beweis noch dadurch zu komplettieren, dass man die Teilmengenbeziehung erwähnt; zusammen mit der Nichtexistenz einer Bijektion von nach erhält man, dass eine größere Mächtigkeit als hat, also überabzählbar ist.

Bei diesem Beweis ist es egal, welches der Intervalle [0,1[, [0,1], ]0,1] oder ]0,1[ man verwendet, da durch die Regel eine Diagonalzahl x mit 0 < x < 1 erzeugt wird, die in jedem dieser Intervalle enthalten ist.

[Bearbeiten] Standpunkt der Konstruktivisten

Auf Kritik gestoßen ist Cantors Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen durch das zweite Diagonalverfahren bei Leopold Kronecker, Hermann Weyl , L.E.J. Brouwer, Henri Poincaré und Ludwig Wittgenstein, der prinzipielle Einwände geltend machte.

Konstruktivisten bezeichnen mit "reelle Zahlen" eine geeignet zu wählende berechenbare Teilmenge der berechenbaren Zahlen, auf die Cantors Beweis nicht übertragbar ist, da x keine berechenbare Zahl ist. Es lässt sich leicht zeigen, dass die berechenbaren Zahlen sowie jede ihrer Teilmengen abzählbar sind.