Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis
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Im Gegensatz zur verbreiteten Meinung vieler Mathematiker und anderer Menschen war Georg Cantors Diagonalbeweis nicht sein erster Beweis, dass die reellen Zahlen eine überabzählbare Menge bilden. Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis kommt ohne das Dezimalsystem oder irgendein anderes Zahlensystem aus. Die Behauptung und der erste Beweis wurden von Cantor im Dezember 1873 entdeckt, und 1874 in Crelles Journal (Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, Bd. 77, 1874) veröffentlicht. Seinen berühmten Diagonalbeweis fand er 1877.
[Bearbeiten] Der Satz
Sei R eine Menge, die
- total geordnet ist,
- dicht geordnet ist, d.h. zwischen je zwei Elementen befindet sich stets ein weiteres,
- keine Endpunkte hat, d.h. kein kleinstes und kein größtes Element,
- keine Lücken hat, d.h. wenn R partitioniert ist in zwei nichtleere Teilmengen A und B, so dass jedes Element von A kleiner als jedes Element von B ist, dann gibt es ein Element c, so dass jedes Element, das kleiner als c ist, in A und jedes Element, das größer als c ist, in B liegt. Dabei ist c entweder aus A oder aus B (ein sogenannter Dedekindscher Schnitt).
Dann ist R überabzählbar, da aufgrund der Dichte, bzw. der "Lückenlosigkeit" bereits jedes beliebig gewählte Intervall (z.B. [0,1]) überabzählbar ist.
[Bearbeiten] Der Beweis
Zum Beweis nehmen wir an, dass es eine Folge 
in R gibt, die ganz R als Folgeglieder hat. Nun definieren wir zwei weitere Folgen:
- a1 = x1
- b1 = xi, wobei i der kleinste Index ist, für den xi > a1 ist.
- an + 1 = xi, wobei i der kleinste Index ist, der größer ist als der zuvor ausgewählte Index, so dass an < xi < bn.
- bn + 1 = xi, wobei i der kleinste Index ist, der größer ist als der zuvor ausgewählte Index, so dass an + 1 < xi < bn.
Die Folge (an) ist streng monoton wachsend, die Folge (bn) ist streng monoton fallend, und die beiden Folgen beschränken sich gegenseitig, da an < bn ist für jedes n. Wegen der Lückenlosigkeit von R muss es ein Element c geben, so dass an < c < bn für jedes n. Wir behaupten nun, dass c kein Element der Folge (xi) sein kann, und das ist ein Widerspruch zur gemachten Annahme, dass die Folge alle Elemente von R enthält.
Wäre c ein Element der Folge, dann gäbe es einen Index i, so dass c = xi ist. Sobald aber bei der Konstruktion der beiden Folgen a und b dieser Index erreicht worden wäre, wäre c als Folgeglied einer dieser beiden Folgen gewählt worden, im Widerspruch zu an < c < bn für alle n.
[Bearbeiten] Reelle algebraische und transzendente Zahlen
Im gleichen Werk von 1874 bewies Cantor, dass die Menge der reellen algebraischen Zahlen abzählbar ist, woraus sofort die Existenz von transzendenten Zahlen folgt. Die Existenzaussage an sich war nicht neu: Joseph Liouville hatte bereits 1844 einige transzendente Zahlen explizit angegeben.
