Adjunkte

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Die Adjunkte, klassische Adjungierte oder komplementäre Matrix einer Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Man bezeichnet damit die transponierte Matrix der Cofaktoren, also der vorzeichenbehafteten Minoren.

$\operatorname{adj}(A) = \tilde A^T = \begin{pmatrix} \tilde a_{11} & \tilde a_{21} & \cdots & \tilde a_{n1}\\ \tilde a_{12} & \tilde a_{22} & & \tilde a_{n2}\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ \tilde a_{1n} & \tilde a_{2n} & \cdots & \tilde a_{nn}\end{pmatrix}$

Man sollte hierbei beachten, dass dem Indexpaar $(i, j)$ der Cofaktor $\tilde a_{ji}$ zugeordnet wird. Die Cofaktoren $\tilde a_{ji}$ berechnen sich zu

$\tilde a_{ji} = (-1)^{j+i}\cdot M_{ji} = (-1)^{j+i}\cdot \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\ a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{n,n}\end{vmatrix}$ .

Die Minoren $M j i$ sind die Werte der Unterdeterminanten der transponierten Matrix $A$ , die durch Streichen der $j$ -ten Zeile und der $i$ -ten Spalte entstehen.

Da die Adjunkte in heutigen Lehrbüchern selten auftaucht und in älteren Werken die Notation alles andere als eindeutig war, ist Vorsicht geboten. Oft wird die selbe Notation für die Adjunkte und die Adjungierte (also bei reellen Matrizen deren Transponierte, bei komplexen Matrizen deren konjugiert-transponierte, bei allgemeineren Räumen mithilfe des zugrunde liegenden Skalarproduktes oder Sesquilinearproduktes) verwendet.

Aus der Definition der Adjunkten und der Definition der Determinanten nach Leibniz sieht man unmittelbar, dass der Satz von Binet-Cauchy gilt:

$\mbox{adj}(A)\cdot A=A\cdot \mbox{adj}(A)=\det(A)\cdot I$

Diese Formel bildet die Grundlage der Definition der nur für $\det(A)\neq0$ existierenden und dann eindeutigen (Links- und Rechts-) Inversen als

$A^{-1}=\frac{\mbox{adj}(A)}{\det(A)}.$

Über den Zusammenhang zwischen der Resolvente, i.e., der Inversen der spektral verschobenen Matrix und Eigenvektoren lassen sich Aussagen über die Eigenvektoren von Matrizen gewinnen.

Von „http://de.wikipedia.org../../../a/d/j/Adjunkte.html“

Kategorie: Lineare Algebra

Adjunkte

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Views

Navigation

Mitmachen

Suche

Andere Sprachen