Minor (Mathematik)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Minor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit die Determinante einer quadratischen Untermatrix, die durch Streichen einer oder mehrerer Spalten und Zeilen einer Matrix entsteht. Die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der entsprechenden Untermatrix gibt die Ordnung des Minors an.

Zu einer quadratischen $n \times n$ -Matrix lassen sich die Cofaktoren $\tilde a_{ij}$ gemäß folgender Formel berechnen:^[1]

$\tilde a_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$

Dabei ist $M i j$ der Minor $(n - 1)$ -ter Ordnung, der aus derjenigen Untermatrix berechnet wird, die durch Streichen der $i$ -ten Zeile und $j$ -ten Spalte entsteht.

Aus den Cofaktoren lässt sich wieder eine Matrix bilden, deren Transponierte als Adjunkte oder komplementäre Matrix bezeichnet wird. Mit ihr kann man die Inverse einer Matrix berechnen. Der Laplace'sche Entwicklungssatz verwendet die Cofaktoren einer Matrix zur Berechnung ihrer Determinante.

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiel
2 Hauptminoren
- 2.1 Hauptminoren-Kriterium für Definitheit
3 Quellen

[Bearbeiten] Beispiel

Es soll der Minor $M 2,3$ und der Cofaktor $\tilde a_{2,3}$ der folgenden Matrix bestimmt werden:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ -1 & 9 &11 \end{pmatrix}$

Durch Streichen der zweiten Zeile und dritten Spalte

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & - \\ - & - & - \\ -1 & 9 & - \end{pmatrix}$

entsteht die Matrix

$A_{2,3} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 9 \end{pmatrix}$

Daraus lässt sich der Minor $M 2,3$ berechnen.

$M_{2,3} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 9 \end{vmatrix} = 9 + 4 = 13.$

Für den Cofaktor $\tilde a_{2,3}$ gilt

$\tilde a_{2,3} = (-1)^{2+3} \cdot M_{2,3} = -13$

[Bearbeiten] Hauptminoren

Die linken oberen $k\times k$ -Teilmatrizen $A k$ der $n\times n$ -Matrix $A$ , die durch Streichung der $n - k$ rechtesten Spalten und $n - k$ untersten Zeilen entstehen, haben eine Bedeutung für die Feststellung der Definitheit der Matrix $A$ . Die Determinanten $det(A k)$ dieser Teilmatrizen heißen (führende) Hauptminoren.