Resolvente
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In der Mathematik ist die Resolvente die Inverse eines spektral verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Ihr Definitionsbereich ist die Resolventenmenge.
Für einen Operator linearen Operator A (oder auch eine Matrix 
) definiert man die Resolventenmenge als
.
Die Resolventenmenge ist also das Komplement des Spektrums und daher offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch
- R(A,z) = (zI − A) − 1.
Viele Autoren verwenden die Definition der Resolvente als R(A,z) = (A − zI) − 1. Die Resolvente ist eine analytische Funktion und kann auf 
, wobei r der Spektralradius ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:
.
Die Resolvente wird verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, z.B. die Entwicklungen von Rellich-Kato und Rayleigh-Schrödinger.
[Bearbeiten] Resolventenidentitäten
Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus (z1 − z2)I = z1I − A − (z2I − A) folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität
- R(A,z2) − R(A,z1) = (z1 − z2)R(A,z1)R(A,z2) = (z1 − z2)R(A,z2)R(A,z1),
und aus A1 − A2 = zI − A2 − (zI − A1) folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität
- R(A1,z) − R(A2,z) = R(A1,z)(A1 − A2)R(A2,z) = R(A1,z)(A1 − A2)R(A2,z).
