L'Hospitalovo pravidlo
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
l'Hôspitalova pravidla slouží k výpočtu limit tzv. neurčitých výrazů typu a . Tato pravidla lze použít také při řešení neurčitých výrazů typu , 00, , nebo , které však vhodnými úpravami převádíme na neurčité výrazy typu nebo .
Obsah |
[editovat] Definice
Máme-li funkce f(x),g(x), pro něž v bodě c platí a , pak v případě, že existuje (vlastní nebo nevlastní) limita , platí
kde označuje derivaci funkce.
Podobně v případě, kdy máme funkce f(x),g(x), pro něž v bodě c platí a . Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) limita , pak opět platí vztah
Uvedená l'Hôspitalova pravidla jsou použitelná také v nevlastních bodech.
Pokud je v bodě c opět neurčitým výrazem, lze l'Hôspitalova pravidla použít opakovaně. Takto můžeme postupovat, dokud nezískáme nějaký výraz, který není neurčitý.
[editovat] Úprava výrazů pro použítí l'Hôspitalova pravidla
l'Hôspilova pravidla jsou definována pouze pro neurčité výrazy typu nebo . Ostatní neurčité výrazy je nutno převést na tento typ neurčitého výrazu.
Uvažujme dále funkce f(x),g(x), které v bodě c nabývají hodnot 0 nebo .
- Jestliže představuje v c výraz , pak je můžeme upravit na , což je výraz typu , nebo na , což je výraz typu .
- Jesliže f(x) − g(x) představuje v c výraz typu , pak jej lze upravit na , což je výraz typu .
- Jestliže f(x)g(x) představuje v c výraz typu 00, pak jej upravíme na , kde v exponentu je výraz , který lze dále upravit na výraz nebo . Při řešení pak využijeme toho, že .
- Jestliže f(x)g(x) představuje v c výraz typu , pak jej upravíme na , kde v exponentu je výraz , který dále řešíme stejně jako v předchozím bodu.
- Jestliže f(x)g(x) představuje v c výraz typu , pak jej upravíme na , kde v exponentu je výraz , který dále řešíme stejně jako v předchozím bodu.