L'Hospital-szabály

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A L'Hospital-szabály (nevét Guillaume de l'Hôpital francia matematikusról kapta) a matematikai analízis egy rendkívül jól használható módszere arra, amikor egy függvény határértékének kiszámításakor a függvényműveletek kritikus alakú határértékhez (például $\mbox{ }_{\frac{0}{0}}$ , $00$ , stb.) vezetnek. Ekkor a L'Hospital-szabály szerint érdemes a függvényt hányadosként felírni és ha a számláló és a nevező differenciálható, akkor a deriváltak hányadosa lesz a keresett határérték.

Tartalomjegyzék

1 A szabály alapgondolata
2 Az egyszerű L'Hospital-szabály
- 2.1 Ismételt „L'Hospitálás”
3 Erős L'Hospital-szabály

[szerkesztés] A szabály alapgondolata

Egy algebrai tört határértékproblémája esetén, például a

$\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}$

határéréték esetén a $\mbox{ }_{\frac{0}{0}}$ kritikus alak eltűnik, ha az (x-1) polinomot kiemeljük a számlálóból is és a nevezőből is (hiszen mindegyiknek gyöke az 1 szám). Ekkor már behelyettesítéssel kiszámíthatóvá válik a határérték:

$\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x-1}{x+1}=\frac{0}{2}=0$

Bonyolultabb függvényeknél, hasonló esetben, például a

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x}$

határértéknél a fenti módon nem tudjuk megszüntetni a 0-val való osztást. Hogy mód nyíljon valamiféle egyszerűsítésre esetünkben is, írjuk fel a függvényeket hatványsor alakban, azaz Taylor-sor formájában, mellyel hasonlatosakká válnak a polinomokhoz.

$f(x)=\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cfrac{x^n}{n!}-1}{\sum\limits_{k=0}^{\infty}\cfrac{x^{2k+1}(-1)^{k}}{(2k+1)!} }=\frac{x+\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{6}+...}{x-\cfrac{x^3}{6}+\cfrac{x^5}{120}-...}=\frac{1+\cfrac{x}{2}+\cfrac{x^2}{6}+...}{1-\cfrac{x^2}{6}+\cfrac{x^4}{120}-...}$

Rögzített x szám esetén a sorok összegének homogén tulajdonsága folytán kiemeltük x-et, majd a törtet egyszerűsítettük. Ekkor a határértékképzés és az összegzés felcserélhetősége miatt adódik, hogy:

$\mbox{ }_{\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{1}=1}$

Tekintve, hogy a sor konstans tagja tűnt el, és az elsőfokú tag együtthatója jelent meg konstansként, a hányados határértéke a deriváltak határéréke lett (hiszen a Taylor-sor elsőfokú tagjának együtthatója nem más mint a függvény adott pontbeli deriváltja).

[szerkesztés] Az egyszerű L'Hospital-szabály

Nem kell feltennünk, hogy a függvény (mint az előző példában is) analitikus legyen. Elegendő a differenciálhatóság megkövetelése.

Tétel – Egyszerű L'Hospital-szabály – Legyen f és g olyan valós-valós függvény és u olyan pont, hogy f és g differenciálható u-ban, de g'(u) nem 0 és legyen u torlódási pontja az f/g függvény értelmezési tartományának. Ha f(u) = g(u) = 0, akkor f/g-nek létezik határértéke u-ban és

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)}{g'(u)}$

Bizonyítás. Mind f, mind g a differenciálhatóság definíciója alapján felírható az u pont körül a következő alakban:

$f(x)=f(u)+f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)$

$g(x)=g(u)+g'(u)(x-u)+\eta(x)(x-u)\,$

ahol ε és η az u pontban folytonos és ott eltűnő függvények. Tetszőleges x pontra az f/g értelmezési tartományából felírható a következő hányados:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)}{g'(u)(x-u)+\eta(x)(x-u)}=\frac{f'(u)+\varepsilon(x)}{g'(u)+\eta(x)}$

hiszen f(u) = g(u) =0 és x-u-val egyszerűsíthetünk. Ekkor az ε és η u-beli 0 határértékei folytán:

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)}{g'(u)}$ ■

[szerkesztés] Ismételt „L'Hospitálás”

Előfordulhat, hogy u-ban a deriváltak is nullával egyenlők. Ekkor a L'Hospital-szabályt újból kell alkalmaznunk. Ha például f és g n+1-szer differenciálható u-ban, de egészen az n-edik deriváltig az összes magasabbrendű derivált 0, akkor (a szabály feltételeinek teljesülése esetén):

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{(n+1)}(u)}{g^{(n+1)}(u)}$

[szerkesztés] Erős L'Hospital-szabály

Tétel – Erős L'Hospital-szabály – Ha $I$ nyílt intervallum, u az $I$ torlódási pontja, az f és g függvények $I$ \ {u}-n értelmezett n+1-szer differenciálható függvények, g⁽ⁿ⁺¹⁾ nem veszi föl a 0 értéket és minden k = 0,...,n számra lim_uf ^(k) = lim_ug^(k) = 0, továbbá létezik a $\mbox{ }_{\lim\limits_{x\to u}\frac{f^{(n+1)}(x)}{g^{(n+1)}(x)}}$ , akkor létezik az alábbi határéték és a következővel egyenlő: