نظرية التصنيف

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

تتناول نظرية التصنيف Category Theory البنى الرياضية المختلفة بطريقة مجردة لتدرس خصائصها الأساسية و العلاقات المتبادلة فيما بينها و هي شديدة الصلة مع الطوبولوجيا الجبرية خصوصا في بداية نشأتها عندما تأسست من قبل صموئيل ايلينبيرغ و ساوندرز ماك لين في 1945 . تظهر التصانيف في جميع فروع الرياضيات و بعض فروع المعلوماتية النظرية و الفيزياء الرياضية .

[تحرير] خلفية حول الموضوع

دراسة التصنيفات محاولة لالتقاط ما هو شائع و مشترك في الأصناف المختلفة للبنى الرياضية المتنوعة .

ليكن لدينا الصف Grp من الزمر groups المؤلفة من جميع الغراض التي لها "بنية مجموعة" "group structure" . بشكل أكثر تحديدا , Grp تتألف من جميع المجموعات G المزودة بعلاقة ثنائية و التي تحقق مجموعة من البدهيات axiom . و عن طريق مجموعة البدهيات تلك يمكن للمرء استنتاج مجموعة من المبرهنات حول الزمر . فمثلا من المسلمات الأساسية يمكن الاستنتاج مباشرة أن العنصر الحيادي identity element للزمرة يكون وحيدا .

و بدلا من التركيز على الأغراض المفردة (الزمر) التي تمتلك نفس الخواص و البنية , كما تفعل النظريات الرياضية عادة , تحاول نظرية التصنيف ان تركز على انحفاظ الشكل morphism - أي العمليات المحافظة على البنية - بين مختلف الأغراض . و قد تبين من دراسة انحفاظات الشكل أنها تمكننا من معرفة المزيد حول بنية الأغراض ذاتها (الزمر هنا) . انحفاظات الشكل morphisms هنا هي تشاكل الزمر group homomorphism . تشاكل الزمر بين زمرتين " هو ما يحفظ بنية الزمرة " بشكل دقيق - أي أنه إسقاط دقيق لزمرة على أخرى , غنع "عملية" تأخذ الزمرة إلى زمرة اخرى . و مجمل المعلومات حول بنية الزمرة الأولى تصبح في الزمرة الثانية . دراسة تشاكلات الزمر تؤمن وسيلة ممتازة لدراسة الخواص العامة للزمر و نتائج بدهيات الزمر .

فروع الرياضيات التي تهتم بدراسة البنية
جبر تجريدي \| نظرية الأعداد \| الهندسة الجبرية \| نظرية الزمر \| المونويدات \| التحليل الرياضي \| الطوبولوجيا \| جبر خطي \| نظرية المخططات \| الجبر الشامل \| نظرية التصنيف \| نظرية الترتيب \| نظرية القياس