E (数学常数)

维基百科，自由的百科全书

此条目的标题应为 e (数学常数)，但由于技術限制，标题首字母被转成了大写，而非小写。

-{T|e}- $e$ ，作为數學常數，是自然對數函數的底數。有時稱它為歐拉數（-{Euler number}-），以瑞士數學家歐拉命名；也有個較鮮見的名字納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它的數值約是（小數點後10000位）：

e

≈ 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353

 547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295260
 595630738132328627943490763233829880753195251019011573834187930702154089149
 934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069
 551702761838606261331384583000752044933826560297606737113200709328709127443
 747047230696977209310141692836819025515108657463772111252389784425056953696
 770785449969967946864454905987931636889230098793127736178215424999229576351
 482208269895193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443117
 301238197068416140397019837679320683282376464804295311802328782509819455815
 301756717361332069811250996181881593041690351598888519345807273866738589422
 879228499892086805825749279610484198444363463244968487560233624827041978623
 209002160990235304369941849146314093431738143640546253152096183690888707016
 768396424378140592714563549061303107208510383750510115747704171898610687396
 965521267154688957035035402123407849819334321068170121005627880235193033224
 745015853904730419957777093503660416997329725088687696640355570716226844716
 256079882651787134195124665201030592123667719432527867539855894489697096409
 754591856956380236370162112047742722836489613422516445078182442352948636372
 141740238893441247963574370263755294448337998016125492278509257782562092622
 648326277933386566481627725164019105900491644998289315056604725802778631864
 155195653244258698294695930801915298721172556347546396447910145904090586298
 496791287406870504895858671747985466775757320568128845920541334053922000113
 786300945560688166740016984205580403363795376452030402432256613527836951177
 883863874439662532249850654995886234281899707733276171783928034946501434558
 897071942586398772754710962953741521115136835062752602326484728703920764310
 059584116612054529703023647254929666938115137322753645098889031360205724817
 658511806303644281231496550704751025446501172721155519486685080036853228183
 152196003735625279449515828418829478761085263981395599006737648292244375287
 184624578036192981971399147564488262603903381441823262515097482798777996437
 308997038886778227138360577297882412561190717663946507063304527954661855096
 666185664709711344474016070462621568071748187784437143698821855967095910259
 686200235371858874856965220005031173439207321139080329363447972735595527734
 907178379342163701205005451326383544000186323991490705479778056697853358048
 966906295119432473099587655236812859041383241160722602998330535370876138939
 639177957454016137223618789365260538155841587186925538606164779834025435128
 439612946035291332594279490433729908573158029095863138268329147711639633709
 240031689458636060645845925126994655724839186564209752685082307544254599376
 917041977780085362730941710163434907696423722294352366125572508814779223151
 974778060569672538017180776360346245927877846585065605078084421152969752189
 087401966090665180351650179250461950136658543663271254963990854914420001457
 476081930221206602433009641270489439039717719518069908699860663658323227870
 937650226014929101151717763594460202324930028040186772391028809786660565118
 326004368850881715723866984224220102495055188169480322100251542649463981287
 367765892768816359831247788652014117411091360116499507662907794364600585194
 199856016264790761532103872755712699251827568798930276176114616254935649590
 379804583818232336861201624373656984670378585330527583333793990752166069238
 053369887956513728559388349989470741618155012539706464817194670834819721448
 889879067650379590366967249499254527903372963616265897603949857674139735944
 102374432970935547798262961459144293645142861715858733974679189757121195618
 738578364475844842355558105002561149239151889309946342841393608038309166281
 881150371528496705974162562823609216807515017772538740256425347087908913729
 172282861151591568372524163077225440633787593105982676094420326192428531701
 878177296023541306067213604600038966109364709514141718577701418060644363681
 546444005331608778314317444081194942297559931401188868331483280270655383300
 469329011574414756313999722170380461709289457909627166226074071874997535921
 275608441473782330327033016823719364800217328573493594756433412994302485023
 573221459784328264142168487872167336701061509424345698440187331281010794512
 722373788612605816566805371439612788873252737389039289050686532413806279602
 593038772769778379286840932536588073398845721874602100531148335132385004782
 716937621800490479559795929059165547050577751430817511269898518840871856402
 603530558373783242292418562564425502267215598027401261797192804713960068916
 382866527700975276706977703643926022437284184088325184877047263844037953016
 690546593746161932384036389313136432713768884102681121989127522305625675625
 470172508634976536728860596675274086862740791285657699631378975303466061666
 980421826772456053066077389962421834085988207186468262321508028828635974683
 965435885668550377313129658797581050121491620765676995065971534476347032085
 321560367482860837865680307306265763346977429563464371670939719306087696349
 532884683361303882943104080029687386911706666614680001512114344225602387447
 432525076938707777519329994213727721125884360871583483562696166198057252661
 220679754062106208064988291845439530152998209250300549825704339055357016865
 312052649561485724925738620691740369521353373253166634546658859728665945113
 644137033139367211856955395210845840724432383558606310680696492485123263269
 951460359603729725319836842336390463213671011619282171115028280160448805880
 238203198149309636959673583274202498824568494127386056649135252670604623445
 054922758115170931492187959271800194096886698683703730220047531433818109270
 803001720593553052070070607223399946399057131158709963577735902719628506114
 651483752620956534671329002599439766311454590268589897911583709341937044115
 512192011716488056694593813118384376562062784631049034629395002945834116482
 411496975832601180073169943739350696629571241027323913874175492307186245454
 322203955273529524024590380574450289224688628533654221381572213116328811205
 214648980518009202471939171055539011394331668151582884368760696110250517100
 739276238555338627255353883096067164466237092264680967125406186950214317621
 166814009759528149390722260111268115310838731761732323526360583817315103459
 573653822353499293582283685100781088463434998351840445170427018938199424341
 009057537625776757111809008816418331920196262341628816652137471732547772778
 348877436651882875215668571950637193656539038944936642176400312152787022236
 646363575550356557694888654950027085392361710550213114741374410613444554419
 210133617299628569489919336918472947858072915608851039678195942983318648075
 608367955149663644896559294818785178403877332624705194505041984774201418394
 773120281588684570729054405751060128525805659470304683634459265255213700806
 875200959345360731622611872817392807462309468536782310609792159936001994623
 799343421068781349734695924646975250624695861690917857397659519939299399556
 754271465491045686070209901260681870498417807917392407194599632306025470790
 177452751318680998228473086076653686685551646770291133682756310722334672611
 370549079536583453863719623585631261838715677411873852772292259474337378569
 553845624680101390572787101651296663676445187246565373040244368414081448873
 295784734849000301947788802046032466084287535184836495919508288832320652212
 810419044804724794929134228495197002260131043006241071797150279343326340799
 596053144605323048852897291765987601666781193793237245385720960758227717848
 336161358261289622611812945592746276713779448758675365754486140761193112595
 851265575973457301533364263076798544338576171533346232527057200530398828949
 903425956623297578248873502925916682589445689465599265845476269452878051650
 172067478541788798227680653665064191097343452887833862172615626958265447820
 567298775642632532159429441803994321700009054265076309558846589517170914760
 743713689331946909098190450129030709956622662030318264936573369841955577696
 378762491885286568660760056602560544571133728684020557441603083705231224258
 722343885412317948138855007568938112493538631863528708379984569261998179452
 336408742959118074745341955142035172618420084550917084568236820089773945584
 267921427347756087964427920270831215015640634134161716644806981548376449157
 390012121704154787259199894382536495051477137939914720521952907939613762110
 723849429061635760459623125350606853765142311534966568371511660422079639446
 662116325515772907097847315627827759878813649195125748332879377157145909106
 484164267830994972367442017586226940215940792448054125536043131799269673915
 754241929660731239376354213923061787675395871143610408940996608947141834069
 836299367536262154524729846421375289107988438130609555262272083751862983706
 678722443019579379378607210725427728907173285487437435578196651171661833088
 112912024520404868220007234403502544820283425418788465360259150644527165770
 004452109773558589762265548494162171498953238342160011406295071849042778925
 855274303522139683567901807640604213830730877446017084268827226117718084266
 433365178000217190344923426426629226145600433738386833555534345300426481847
 398921562708609565062934040526494324426144566592129122564889356965500915430
 642613425266847259491431423939884543248632746184284665598533231221046625989
 014171210344608427161661900125719587079321756969854401339762209674945418540
 711844643394699016269835160784892451405894094639526780735457970030705116368
 251948770118976400282764841416058720618418529718915401968825328930914966534
 575357142731848201638464483249903788606900807270932767312758196656394114896
 171683298045513972950668760474091542042842999354102582911350224169076943166
 857424252250902693903481485645130306992519959043638402842926741257342244776
 558417788617173726546208549829449894678735092958165263207225899236876845701
 782303809656788311228930580914057261086588484587310165815116753332767488701
 482916741970151255978257270740643180860142814902414678047232759768426963393
 577354293018673943971638861176420900406866339885684168100387238921448317607
 011668450388721236436704331409115573328018297798873659091665961240202177855
 885487617616198937079438005666336488436508914480557103976521469602766258359
 905198704230017946553679

就像圓周率π和虛數單位i， $e$ 是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部份：

[编辑] 定義

最常見的四種 $e$ 的定義如下：

1. 定義e 為下列極限值：

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 。

2. 定義e為下列無窮級數之和：

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$ ，

其中n!表n的階乘。

3. 定義

e

為唯一的數

x > 0

使得

$\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}$ 。

4. 定義

e

為唯一的數使得

$\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$

這些定義可證明是等價的。

[编辑] 性質

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數 $e x$ 重要在它是唯一的函數與其導數相等（乘以常數，最一般的函數形式為 $k e x$ ， $k$ 為任意常數）。

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$ 。

e是無理數和超越數（見林德曼—魏爾施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。這是第一個獲證為超越數，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特(Charles Hermite)於1873年證明。有猜想它為正規數。它出現在數學中一條很重要的等式，稱為歐拉公式：

$e^{ix} = \cos\,x + i\sin\,x \,\!$ 。

當 $x = π$ 的特例是歐拉恆等式：

$e^{i\pi} + 1 = 0 \,\!$ ，

這式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。

$e$ 的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下：

$e = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12,\ldots] \,$ 。

[编辑] 無理數證明

證明 $e$ 是無理數可以用反證法。假設 $e$ 是有理數，則可以表示成 $a / b$ ，其中 $a, b$ 為正整數。以 $e$ 的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

$x = b\,! \left(e-\sum_{i=0}^b {1 \over n\,!}\right)$ ，

以下將推導出 $x$ 是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證 $e$ 是無理數。

$x$ 是整數，因為

$0 < x = b\,! \left(e - \sum_{i=0}^b {1 \over n\,!}\right) = b\,! \left({a \over b} - \sum_{i=0}^b {1 \over n\,!}\right)$

$= a (b-1)! - \sum_{n=0}^b {b\,! \over n\,!}$

$= a (b-1)! - \left(1 + \sum_{n=0}^{b-1} b(b-1)\cdots(n+1)\right)$ 。

$x$ 是小於1的正數，因為

$0 < x = b\,! \sum_{n=b+1}^\infty {1 \over n!}$

$= \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots$

$< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = {1 \over b} < 1$ 。

[编辑] 歷史

第一次提到常數 $e$ ，是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德(William Oughtred)製作。第一次把e看為常數的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)，他嘗試計算下式的值：

$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 。

已知的第一次用到常數 $e$ ，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用 $e$ 來表示這常數；而 $e$ 第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》(-{Mechanica}-)。雖然往後年日有研究者用字母c表示，但 $e$ 較常用，終於成為標準。

用e表示的確實原因不明，但可能因為 $e$ 是「指數」(-{exponential}-)一字的首字母。另一看法則稱a，b，c和d有其他經常用途，而 $e$ 是第一個可用字母。不過，歐拉選這個字母的原因，不太可能是因為這是他自己名字-{Euler}-的首字母，因為他是個很謙虛的人，總是恰當地肯定他人的工作。

[编辑] e在數學外的用途

在Google 2004年的首次公開募股，集資額不是通常的整頭數，而是$2,718,281,828，這當然是取最接近整數的 $e$ 十億美元。（顺便一提，Google2005年的一次公開募股中，集資額是$14,159,265，与圆周率 π有关）
Google也是首先在矽谷心臟地帶，接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版的幕後黑手，它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在e的連續數字中第一個發現的十位質數.com）。解決了這問題（第一個 $e$ 中的十位質數是7427466391，出奇地到很後才出現，由第100個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。
著名電腦科學家高德納的書METAFONT的版本號碼趨向 $e$ （就是說版本號碼是2，2.7，2.71，2.718等）。