Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions 超越數 - Wikipedia

超越數

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超越數是不能滿足任何整係數代數方程的數。這即是超越數是代數數的相反，也即是說若 x 是一個超越數，那麼對於任何整數 a_n, a_{n_1}, \ldots, a_0 都符合：

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \ne 0

超越數的例子包括：

  • 劉維爾 (Liouville) 常數：\sum_{k=0}^\infty 10^{-k!} = 0.210001000000000000000001000\ldots
    它是第一個確認為超越數的數，是於 1844年劉維爾發現的。
  • e
  • ea，其中 a 是代數數。
  • π
  • eπ
  • 2^{\sqrt{2}}。
    更一般地，若 a 為零和一以外的任何代數數及 b 為無理代數數則 ab 必為超越數。希爾伯特第七問題便是問若 b 只是無理數那麼 ab 是否也是超越數。此問題到目前為止還未解決。
  • sin 1
  • ln a，其中 a 為非一正有理數。
  • Γ (1/3) 、 Γ(1/4) 及 Γ (1/6)（參見伽傌函數）。

所有超越數構成的集是一個不可數集。這暗示超越數遠多於代數數。可是，現今發現的超越數極少，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。

超越數的發現令一些古代尺規作圖問題的不可能性得以證明。這包括著名的化圓為方問題，因 π 是超越數而被確定為不可能的了。

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