纳什嵌入定理

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纳什嵌入定理，以约翰·福布斯·纳什命名，这两个定理说每个黎曼流形可以等距嵌入到欧氏空间 Rⁿ。

"等距"表示"保持曲线长度"。因此，该结果表明每个黎曼流形可以看作是欧氏空间的子流形。第一个定理适用于 C¹-光滑嵌入，第二个用于解析或C^k, 3 ≤ k ≤ ∞的情形。两个定理非常不同；第一个有很简单的证明但并不直观，而第二个非常具有技术性但其结论并不让人吃惊。

C¹定理发表于1954年, C^k定理发表于1956年,解析的情形则发表于1966年，都由纳什给出。其深入发展见h-原则。

[编辑] 纳什-科伊伯定理(Nash-Kuiper theorem ,C¹嵌入定理)

定理令 $(M, g)$ 为一黎曼流形而 $f:M^m\to E^n$ 为一个短的 $C^\infty$ 光滑嵌入(或 [嵌入|浸入]])到欧氏空间 $E n$ , $n\ge m+1$ 。则对于任意 $ε > 0$ 存在嵌入(或浸入) $f_\epsilon:M^m\to E^n$ 满足

(i)

C 1

-光滑,

(ii) 等距，也即对于在点 $x\in M$ 的切空间任何两个向量 $v,w\in T_x(M)$ ，我们有 $g(v,w)=\langle df_\epsilon(v),df_\epsilon(w)\rangle$ .

(iii)

ε

-接近f, i.e. :

| f (x) - f ε (x) | < ε

对于所有 $x\in M$ 。

特别的是，因为它从惠特尼嵌入定理（Whitney embedding theorem）得出,任何m-维黎曼流形可以有一个等距 $C 1$ -嵌入到2m-维欧氏空间。定理最初由纳什在条件 $n\ge m+2$ 而不是 $n\ge m+1$ 下证明，尔后被尼古拉·科伊伯(Nicolaas Kuiper)推广，用的是一个相对简单的技巧。

定理有很多反直观的暗示。例如，可以得出任何闭可定向曲面可以 $C 1$ 嵌入到在欧氏三维空间中的任意小球(根据高斯公式,不存在这样的 $C 2$ -嵌入)。

[编辑] C^k嵌入定理

技术性的陈述如下: 若M为一给定m-维黎曼流形 (解析或属于C^k类, 3 ≤ k ≤ ∞), 则存在n ( $n = m 2 + 5 m + 3$ 就可以)和一个单射f : M -> Rⁿ (也是解析的或者属于C^k类)使得对于M的所有点p，导数 df_p 是一个线性映射从切空间 T_pM 到Rⁿ，和给定在T_pM上的内积和Rⁿ的标准点积在如下意义下兼容:

< u, v > = df_p(u) · df_p(v)

对于T_pM中的所有向量u, v。这是偏微分方程(PDE)的不定系统。

纳什嵌入定理是全局系统，因为整个流形嵌入到了Rⁿ。局部嵌入定理要简单得多，可以通过隐函数定理证明。这里给出的全局嵌入定理的证明依赖于纳什对隐函数定理的极大推广版本，[[Nash-Moser定理]和带后处理(postconditioning)的牛顿法(见参考)。纳什解决嵌入问题的基本思想是采用牛顿法来证明该PDE系统有解。标准的牛顿法应用于该系统时不收敛，所以纳什利用光滑化算子来保证牛顿循环收敛。这个改变了的牛顿法成为带后处理的牛顿法。平滑算子由卷积定义。该平滑算子保证了循环的趋向于一个根，使得它可以用来作为存在性定理。通过证明PDE系统存在一个根就证明了黎曼流形的等距嵌入的存在性。有一个更老的循环称为Kantovorich循环，它是只用牛顿方法的存在性定理(所以不用平滑算子)。

[编辑] 参考

N.H.Kuiper: "On C¹-isometric imbeddings I", Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., 58 (1955), pp 545-556.
John Nash: "C¹-isometric imbeddings", Annals of Mathematics, 60 (1954), pp 383-396.
John Nash: "The imbedding problem for Riemannian manifolds", Annals of Mathematics, 63 (1956), pp 20-63.
John Nash: "Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data" Annals of Mathematics, 84 (1966), pp 345-355.

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