卷积

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在泛函分析中，卷积是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与经过翻转和平移的g 的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。

[编辑] 简单介绍

卷积是分析数学中一种重要的运算。设: $f (x)$ , $g (x)$ 是R1上的两个可积函数，作积分：

$\int f(\tau) g(x - \tau)\, d\tau$

可以证明，关于几乎所有的x∈(－∞，∞) ，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）＝（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）＝（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数（f *g）（x），一般要比f，g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积（f *g）（x）也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数，都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

[编辑] 定义

函数f 与g 的卷积记作 $f \star g$ ，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积对于平移量的积分。

$(f \star g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau$

积分区间取决于f 与g 的定义域。

对于定义在离散域的函数，卷积定义为

$(f \star g)[m] = \sum_n {f[n] g[m - n]}$

[编辑] 多元函数卷积

按照翻转、平移、积分的定义，还可以类似的定义多元函数上的积分：

$(f \star g )(t_1,t_2,\cdots,t_n) = \int\int\cdots\int f(\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_n) g(t_1 - \tau_1,t_2 - \tau_2,\cdots,t_n - \tau_n,)\, d\tau_1 d\tau_2 \cdots d\tau_n$

[编辑] 性质

各种卷积算子都满足下列性质：

交换律: $f \star g = g \star f \,$

结合律: $f \star (g \star h) = (f \star g) \star h \,$

分配律: $f \star (g + h) = (f \star g) + (f \star h) \,$

数乘结合律: $a (f \star g) = (a f) \star g = f \star (a g) \,$

其中 $a$ 为任意实数（或复数）。

微分定理: $\mathcal{D}(f \star g) = \mathcal{D}f \star g = f \star \mathcal{D}g \,$

其中Df 表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种：

前向差分： $\mathcal{D}^+f(n) = f(n+1) - f(n)$
后向差分： $\mathcal{D}^-f(n) = f(n) - f(n-1)$

[编辑] 卷积定理

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

$\mathcal{F}(f \star g) = \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)$

其中 $\mathcal{F}(f)$ 表示f 的傅里叶变换。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为 $n$ 的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做 $2 n - 1$ 组对位乘法，其计算复杂度为 $\mathcal{O}(n^2)$ ；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为 $\mathcal{O}(n\log n)$ 。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。