棣美弗定理
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棣美弗定理是一個關於複數的定理。
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[编辑] 歷史
法國數學家棣美弗（Abraham de Moivre，1667年—1754年）於1707年創立了棣美弗定理，並於1730年發表。
[编辑] 定理
當一個複數以极坐标形式表達，即(cosθ + isinθ)時，其n次方(cosθ + isinθ)n = cos(nθ) + isin(nθ)，當n屬於任何有理數。
[编辑] 証明
[编辑] 當n屬於整數大於0
利用數學歸納法，
設命題
當n為0,
| LHS | = (cosθ + isinθ)0 |
| = 1 | |
| RHS | = (cos0θ + isin0θ) |
| = 1 + 0 | |
| = 1 |
假設P(k)成立，即
(cosθ + isinθ)k = cos(kθ) + isin(kθ)
當n = k + 1，
| LHS | = (cosθ + isinθ)k + 1 |
| = (cosθ + isinθ)k(cosθ + isinθ) | |
| = (coskθ + isinkθ)(cosθ + isinθ) | |
| = (coskθ)(cosθ) + (coskθ)(isinθ) + (isinkθ)(cosθ) + (isinkθ)(isinθ) | |
| = [(coskθ)(cosθ) − (sinkθ)(sinθ)] + i[(coskθ)(sinθ) + (sinkθ)(cosθ)] | |
| = cos(k + 1)θ + isin(k + 1)θ | |
| = RHS |
∴P(k + 1)成立。
從數學歸納法，P(n)成立，當
。
[编辑] 當n屬於負整數
令m = − n，有
| (cosθ + isinθ)n | |
| = | (cosθ + isinθ) − m |
| = |  |
| = |  |
| = | cos(mθ) − isin(mθ) |
| = | cos( − mθ) + isin( − mθ) |
| = | cos(nθ) + isin(nθ) |
