Formula di De Moivre
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
La formula di De Moivre è un importante contributo alla matematica in quanto collega i numeri complessi alla trigonometria:
- ( cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx
per ogni numero reale x e numero intero n, dove i sta per il numero immaginario unitario.
L'espressione "cos x + i sin x" viene a volte abbreviata con "cis x".
Applicando al membro sinistro lo sviluppo del binomio e uguagliando la parti reali e le parti immaginarie dell'identità nella nuova forma, si ottengono espressioni utili per cos(nx) e sin(nx) in termini di sin(x) e cos(x).
Inoltre si può usare la formula per trovare le espressioni esplicite per le radici n-esime dell'unità, cioè i valori per i numeri complessi z tali che zn = 1.
Abraham de Moivre era un buon amico di Newton. Nel 1698 scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel 1676. Può essere derivata dalla formula di Eulero (anche se la precede storicamente)
- eix = cos x + i sin x
e dalla legge esponenziale
- (eix)n = einx
[modifica] Dimostrazione
Distinguiamo i tre casi relativi a n>0, n=0 ed n<0.
Per n > 0 si procede per induzione. Per n=1 la formula è una semplice uguaglianza di un'espressione con sé stessa. Come ipotesi induttiva assumiamo che sia valida per qualche intero positivo k, cioè assumiamo
Consideriamo poi il caso n = k + 1:
(per l'ipotesi induttiva)
L'ultima identità dice che la formula, se vale per n = k allora è valida per n = k + 1 e per il Principio di induzione matematica si conclude che la formula vale per tutti gli n interi positivi.
Per n = 0 la formula si riduce alla semplice identità cos(0x) + isin(0x) = 1 + i0 = 1, e (per la nota convenzione) z0 = 1.
Per n < 0, si considera l'intero positivo integer m := −n. Di conseguenza
, per quanto vale per n > 0
e, razionalizzando il denominatore
Dunque la formula è vera per tutti i valori interi di n. QED
[modifica] Generalizzazione
La formula di De Moivre viene generalizzata nel modo seguente.
Se z e w sono numeri complessi, allora
- (cos z + i sin z)w
è una funzione a più valori, mentre
- cos (wz) + i sin (wz)
non lo è, e si può affermare che
- cos (wz) + i sin (wz) è un valore di (cos z + i sin z)w