Không gian vectơ

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, một không gian vectơ là một tập hợp các đối tượng (gọi là vectơ) nói một cách nôm na là có thể co giãn và cộng với nhau được. Một cách nghiêm túc, một không gian vectơ là một tập hợp mà trên đó hai phép toán, gọi là phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng, được định nghĩa và thỏa mãn các tiên đề được liệt kê dưới đây.

Các không gian vectơ quen thuộc là các không gian Euclid hai chiều và ba chiều. Các vectơ trong các không gian này là các cặp số thực hay các bộ 3 số thực, và thường được biểu diễn như là một vectơ hình học với độ lớn và phương hướng.

[sửa] Định nghĩa

Giả sử F là một trường (có thể là trường số thực hay trường số phức). Các phần tử của F được gọi là số vô hướng. Một không gian vectơ V định nghĩa trên trường F là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng được định nghĩa sao cho các tính chất cơ bản sau đây được thỏa mãn:

Phép cộng vectơ có tính kết hợp:
Với mọi u, v, w $\in$ V, ta có u + (v + w) = (u + v) + w.
Phép cộng vectơ có tính giao hoán:
Với mọi v, w $\in$ V, ta có v + w = w + v.
Phép cộng vectơ có phần tử trung hòa:
Có một phần tử 0 $\in$ V, gọi là vectơ không, sao cho v + 0 = v với mọi v $\in$ V.
Phép cộng vectơ có phần tử đối:
Với mọi v ∈ V, có một phần tử w $\in$ V, gọi là phần ngược của v, sao cho v + w = 0.
Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng vectơ:
Với mọi a $\in$ F và v, w $\in$ V, ta có a (v + w) = a v + a w.
Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng vô hướng:
Với mọi a, b $\in$ F và v $\in$ V, ta có (a + b) v = a v + b v.
Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường các số vô hướng :
Với mọi a, b $\in$ F và v $\in$ V, ta có a (b v) = (ab) v.
Phần tử đơn vị của trờng F có tính chất của phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng:
Với mọi v $\in$ V, ta có 1 v = v, 1 kí hiệu đơn vị của phép nhân trong F.

Một cách chính xác, những tiên đề trên là cho một module, do vậy không gian vectơ có thể được mô tả ngắn gọn là một "module trên một trường". Một không gian vectơ chỉ là một trường hợp đặc biệt của một module.

Để ý rằng trong định đề thứ 7, nói rằng a (b v) = (ab) v, là không phải khẳng định về tính kết hợp của một toán tử, bởi vì có hai toán tử đang nói đến, nhân vô hướng: b v; và nhân trên trường số: ab.

Có người cho thêm hai tính chất đóng trong định nghĩa của không gian vectơ: