Vektorrom

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Et vektorrom er det grunnleggende matematiske objektet i lineær algebra, og det defineres ved en rekke aksiom. Slik sett er vektorrom et abstrakt begrep, men det er mange eksempler – Euklidske n-rom, matriserom, reelle funksjoner. Felles for disse eksemplene er de to operasjonene addisjon og skalar multiplikasjon og aksiomene for vektorrom er nettopp en beskrivelse av de viktigste egenskapene disse operasjonene har. Objektene i et vektorrom kalles vektorer.

[rediger] Aksiom

Et (reelt) vektorrom er en mengde $V$ sammen med to operasjoner; addisjon og skalar multiplikasjon. Addisjonen er en regel som til hvert par av objekter $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v}$ tilordner et nytt objekt $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ i $V$ , og skalar multiplikasjonen er en regel som til hvert reelt tall $k$ og hvert objekt $\mathbf{u}$ i $V$ tilordner et nytt objekt $k\mathbf{u}$ i $V$ . La $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ og $\mathbf{w}$ være objekt i $V$ , og la $k$ og $l$ være reelle tall. Følgende aksiom kreves oppfyllt:

Kommutativitet: $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$
Assosiativitet: $\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})=(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}$
Nullvektor: Det finnes et objekt $\mathbf{0}$ i $V$ slik at $\mathbf{0}+\mathbf{u}=\mathbf{u}$ og $\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u}$
Negativ: For hver $\mathbf{u}$ i $V$ finnes et objekt $-\mathbf{u}$ i $V$ slik at $\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=\mathbf{0}$ .
Bilinearitet: $k(\mathbf{u}+\mathbf{v})=k\mathbf{u}+k\mathbf{v}$
Bilinearitet: $(k+l)\mathbf{u}=k\mathbf{u}+l\mathbf{u}$
Assosiativitet: $k(l\mathbf{u})=(kl)\mathbf{u}$
Identitet: $1\mathbf{u}=\mathbf{u}$

Objektene i et vektorrom kalles vektorer.

[rediger] Avledede egenskaper

La $\mathbf{u}$ være en vektor og $k$ en skalar. Da er:

$0\mathbf{u}=\mathbf{0}$
$k\mathbf{0}=\mathbf{0}$
$(-1)\mathbf{u}=-\mathbf{u}$
Hvis $k\mathbf{u}=\mathbf{0}$ , da er $k = 0$ eller $\mathbf{u}=0$ .

[rediger] Eksempler

[rediger] Euklidske n-rom

Det Euklidske n-rommet består av alle n-tupler $(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ av reelle tall. Addisjon er gitt ved å summere koordinat for koordinat: $(u_1,u_2,\ldots,u_n)+(v_1,v_2,\ldots,v_n)=(u_1+v_1,u_2+v_2,\ldots,u_n+v_n)$ . Skalar multipliksajon er gitt ved å multiplisere hver koordinat med skalaren: $k(u_1,u_2,\ldots,u_n)=(ku_1,ku_2,\ldots,ku_n)$ . Med disse operasjonene får vi et vektorrom.

[rediger] Matriserom

La $M m n$ være rommet av alle $m\times n$ matriser. Med operasjonene matriseaddisjon og skalar multiplikasjon er $M m n$ et vektorrom.

[rediger] Nullvektorrommet

La $0$ være en mengde med kun et objekt. La $\mathbf{0}$ betegne dette objektet og definer

$\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$ og $k\mathbf{0}=\mathbf{0}$ .

Da blir $0$ et vektorrom og vi kaller det nullvektorrommet.

[rediger] Funksjonsrom

La $C^1(\mathbb{R})$ betegne rommet av alle kontinuerlige reelle funksjoner definert på hele $\mathbb{R}$ . Hvis $\mathbf{f}=f(x)$ og $\mathbf{g}=g(x)$ er to slike funksjoner, og $k$ en skalar, så definerer vi