Độc lập tuyến tính
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Trong đại số tuyến tính, độc lập tuyến tính là một tính chất thể hiện mối liên hệ giữa các vectơ.
Mục lục |
[sửa] Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
- Một hệ các vectơ {v1,...,vn} trong không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại các số : k1, ..., kn không đồng thời bằng không sao cho:
- k1 v1 + ... + kn vn = 0.
- Hệ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính.
- Nói cách khác, hệ các vectơ này là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi phương trình vectơ:
- k1 v1 + ... + kn vn = 0
chỉ có nghiệm duy nhất: k1 = k2 = ... = kn = 0
[sửa] Ý nghĩa hình học
- Trong không gian các vectơ trên mặt phẳng, hệ gồm hai vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không cùng phương.
- Trong không gian các vectơ hình học 3 chiều, hệ ba vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
[sửa] Thí dụ
- Hai vectơ (1,2,3,4) và (-3,-6,-9,5) là độc lập tuyến tính.
- (1,2) và (-2,-4) không độc lập tuyến tính vì tồn tại λ1 = 1 và λ2 = 2 thỏa mãn λ1(-2,-4) + λ2(1,2) = 0.
[sửa] Độc lập tuyến tính trong không gian Rn
- Trong không gian Rn một hệ gồm nhiều hơn n vectơ {v1,...,vm} luôn là phụ thuộc tuyến tính.
- Nếu hệ các vectơ {v1,...,vm} là độc lập tuyến tính trong không gian Rn, thì tập hợp tất cả các vectơ có dạng:
- k1 v1 + ... + km vm
- là một không gian con đẳng cấu với Rm.
- Một hệ n vectơ {v1,...,vn} là độc lập tuyến tính trong không gian Rn, khi và chỉ khí ma trận lập thành từ các tọa độ của chúng có định thức khác không.
