Lineaire onafhankelijkheid
Binnen een vectorruimte V over een lichaam K (in België: veld) wordt een verzameling vectoren v1, v2, ..., vn aangeduid als lineair onafhankelijk wanneer geen enkele van deze vectoren is te schrijven als een lineaire combinatie van de andere vectoren.
Wiskundig geformuleerd: de vectoren v1, v2, ..., vn heten lineair onafhankelijk indien
a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn = 0 impliceert dat a1 = 0 en a2 = 0 en ... en an = 0 voor willekeurige scalairen ai uit K.
Als vectoren niet lineair onafhankelijk zijn heten ze lineair afhankelijk.
De dimensie van de vectorruimte is gelijk aan het maximaal aantal lineair onafhankelijke vectoren.
[bewerk] Voorbeelden
[bewerk] Voorbeeld 1
Beschouw de vectoren (1,0) en (–1,2) in R2. Om na te gaan of ze lineair afhankelijk zijn stellen we een lineaire combinatie van de twee vectoren gelijk aan de nulvector.
Het blijkt dat de coëfficiënten a en b beiden 0 moeten zijn, de vectoren zijn dus lineair onafhankelijk.
Lineaire onafhankelijkheid kan ook m.b.v. de determinant gecontroleerd worden, als twee rijen (kolommen) lineair afhankelijk zijn is de determinant nul.
De determinant van
is –1, de vectoren zijn aldus onafhankelijk.
[bewerk] Voorbeeld 2
Beschouw de vectoren (1,0,–2), (3,2,0) en (4,2,–2) in R3. Deze zijn lineair afhankelijk omdat elke vector geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de overige. Zo is (4,2,–2) = (1,0,–2) + (3,2,0). Dit is equivalent met het feit dat we de nulvector kunnen schrijven als een lineaire combinatie van de drie vectoren zonder dat alle coëfficiënten 0 moeten zijn.
Analoog is de determinant nul:
