Wektory liniowo niezależne

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Układ wektorów (w_i) (skończony lub nie) w przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależnym, gdy każda kombinacja liniowa wektorów tego układu o niezerowych współczynnikach daje wektor niezerowy.

Inaczej: jedyną kombinacją liniową wektorów tego układu, która jest równa wektorowi zerowemu, jest kombinacja, której wszystkie współczynniki są zerami.

Układ wektorów, który nie jest liniowo niezależny nazywamy liniowo zależnym.

Inaczej: układ wektorów jest liniowo zależny, gdy istnieje kombinacja liniowa jego wektorów o nie wszystkich współczynnikach równych zero, równa wektorowi zerowemu.

Przykłady:

układ wektorów (2,1,0), (-1,3,2), (1,1,1) jest liniowo niezależny, co można sprawdzić rozwiązując równanie x(2,1,0) + y(-1,3,2) + z(1,1,1) = (0,0,0) – jedynym jego rozwiązaniem jest trójka x=0, y=0, z=0.

Takie równanie można zapisać też w następujący sposób:

(2 x, x,0) + ( - y,3 y,2 y) + (z, z, z) = (2 x - y + z, x + 3 y + z,2 y + z) = (0,0,0)

$\begin{matrix}2x - y + z = 0\\ x + 3y + z= 0\\ \qquad 2y + z = 0\end{matrix}$

czyli macierzowo:

$\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$

co sprowadza się do zauważenia, iż jest to jednorodny układ równań, a więc jego rozwiązanie istnieje i możemy zastosować do obliczenia tego układu wzory Cramera. Obliczając rząd macierzy macierzy głównej i korzystając z twierdzenia Croneckera-Cappeliego łatwo dojdziemy do wniosku ile jest wektorów liniowo niezależnych (a nawet które z nich są liniowo niezależne, o ile nie będziemy przestawiać ich w trakcie obliczania rzędu).

Ponieważ rz(A^T)=rz(A), to wystarczy obliczyć rząd macierzy macierzy głównej tego równania. A nawet obliczyć wyznacznik

$det \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}$

macierzy zbudowanej z tych wektorów wpisanych pionowo, a nawet – jak powyżej – poziomo.

układ wektorów (2,1,0), (-3,1,1), (-1,-3,-1) jest liniowo zależny, bo 2(2,1,0) + 1(-3,1,1) + 1(-1,-3,-1) = (0,0,0).
układ wektorów (2,1,0), (1,1,1), (2,1,0) też jest liniowo zależny, bo (2,1,0) + 0(1,1,1) + (-1)(2,1,0) = (0,0,0).
funkcje y = 1, y = sin x, y = sin 2x, y = sin 3x, ... traktowane jako wektory przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale [0, 2π] są liniowo niezależne. Ten fakt jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
funkcje y = 1, y = cos x, y = cos 2x, y=cos 3x, ... traktowane jako wektory przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale [0, 2π] również są liniowo niezależne.
funkcje y = 1, y = x, y = x², y = x³... traktowane jako wektory przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale (-1, 1) są liniowo niezależne. Ten fakt jest podstawą teorii szeregów potęgowych.

Zobacz też: baza przestrzeni liniowej, przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../w/e/k/Wektory_liniowo_niezale%C5%BCne.html"

Kategoria: Algebra liniowa

Wektory liniowo niezależne

Z Wikipedii

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach