Математичний аналіз

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Математичний аналіз - розділ математики, предметом вивчення якого є функції, чи залежності між змінними величинами, основу становлять диференційне й інтегральне числення. З виникненням математичного аналізу стало можливим вивчення і відображення динамічних процесів реального світу. Як розділ математики математичний аналіз оформився наприкінці XVII ст., але його апарат постійно вдосконалюється і розвивається.

[ред.] Історія виникнення

В історії математики можна умовно виділити два основні періоди: елементарної та сучасного математики. Межею, від якої ведеться відлік епохи нової (іноді - вищої) математики, стало XVII століття. Саме в XVII столітті появився математичний аналіз. До кінця XVII ст. І. Ньютоном, Г. Лейбніцем та їх попередниками було створено апарат диференційного і інтегрального числення, що становить основу математичного аналізу і навіть математичну основу всього сучасного природознавства.

Рух, змінні величини і їхня взаємозв'язку оточують нас всюди. Різні види руху їх закономірності становлять основний об'єкт вивчення конкретних наук: фізики, геології, біології, соціології та ін.. Тому точна мова і відповідні математичні методи опису і вивчення таких величин виявилися необхідними в усіх областях знань приблизно як числа й арифметика необхідні для опису кількісних співвідношень. Отож математичний аналіз став основою мови і математичних методів опису змінних величин та зв'язків між ними. В наші дні без математичного аналізу неможливо було б не тільки розрахувати космічні траєкторії, роботу ядерних реакторів, закономірності розвитку циклону, а й єфективно керувати виробництвом, розподілом ресурсів, організацією технологічних процесів, бо все це - динамічні процеси.

Елементарна математика була переважно математикою постійних величин, вона вивчала головним чином співвідношення між елементами геометричних фігур, арифметичні властивості чисел і алгебраїчні рівняння.

[ред.] Передумови появи математичного аналізу

До кінця XVII ст. склалася ситуація коли в математиці було накопичено занання про розв'язки деяких важливих класів задач (наприклад, задачі про обчислення площ і об’ємів нестандартних фігур, задача проведення дотичних до кривих), а також з'явилися методи розв'язання різних часткових випадків. Виявилося, що ці задачі тісно пов'язані з задачами опису деякого (не обов'язково рівномірного) механічного руху, й зокрема обчислення його миттєвих характеристик (швидкості, прискорення в будь-який момент часу), а також знаходження пройденого шляху при русі, що відбувається з заданою змінною швидкістю. Розв'язок цих проблем був необхідним для подальшого розвитку фізики, астрономії, техніки. До середини XVII ст. в працях Р. Декарта і П. Ферма було закладено основи аналітичного методу координат (так званої аналітичної геометрії), які дозволили сформулювати різноманітні за своїм походженням геометричні і фізичні задачі загальною мовою чисел і числових залежностей (числових функцій).

Всі ці обставини призвели до того, що наприкінці XVII ст. двом ученим І. Ньютону і Г. Лейбніцу - незалежно один від одного вдалося створити математичний апарат для розв'язку вказаних задач. В своїх працях ці вчені зібрали й узагальнили окремі результати попередників починаючи від Архімеда і закінчуючи своїми сучасниками, такими як: Б. Кавальєрі, Б. Паскаль, д. Грегорі, І. Барроу. Цей апарат і склав основу математичного аналізу - нового розділу математики, який вивчає різні динамічні процеси, тобто взаємозв'язки змінних величин, які математики називають функціональними залежностями чи функціями. До речі, сам термін «функція» виник саме в XVII ст., а в наш час він придбав не тільки загальноматематичне, а й загальнонаукоуе значення.