Математический анализ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Математи́ческий ана́лиз — совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. В него также входят теории функций действительного и комплексного переменного, теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление и ряд других математических дисциплин.

[править] История

Греческие математики, такие, как Евдоксий и Архимед, интуитивно использовали концепцию пределов и сходимости в методе перебора для вычисления площадей фигур и объемов тел. В XII веке индийский математик Бхашкара привел пример "коэффициента приращения" и сформулировал основную идею теоремы Ролля. В XIV веке индийский математик Мадхава из Сангамаграма выразил некоторые тригонометрические функции как бесконечные последовательности и оценил степень погрешностей, появляющихся при уменьшении этих последовательностей.

В Европе математический анализ появился в XVII веке в качестве независимых между собой исследований Ньютона и Лейбница. В XVII и XVIII веках были разработаны и практически применены такие разделы анализа, как вариационное исчисление, обыкновенные и дифференциальные уравнения в частных производных, анализ Фурье и производящая функция.

На протяжении всего XVIII века определение концепции функции было предметом споров среди математиков. В XIX веке Коши первым дал анализу твердое логическое обоснование, введя понятие последовательности. Он также открыл новую страницу комплексного анализа. Пуассон, Лиувилль, Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ.

В середине века Риман предложил теорию интегрального исчисления. В последней трети XIX века Вейерштрасс произвел арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование неудобным, и предложил определение предела через ε-δ-язык;. Тогда математики стали сомневаться в существовании множества вещественных чисел. Дедекинд ввел вещественные числа с помощью дедекиндовых сечений. В это время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций.

Также были открыты патологические примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции, заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры, а Кантор — теорию множеств. В начале XX века исчисление было формализовано с использованием аксиоматической теории множеств. Лебег решил проблему меры, а Гильберт предложил понятие пространства Гильберта для решения интегральных уравнений. Идея нормированного векторного пространства витала в воздухе, и в 1920-е Банах создал функциональный анализ.

[править] Разделы математического анализа

Теория функций
- Теория функций вещественного переменного, изучающая производные и интегралы вещественнозначных функций.
- Теория функций комплексного переменного, изучающая функции, заданные на комплексной плоскости.
Функциональный анализ, изучающий пространства функций.
Нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа.

[править] Литература

Г.Полиа, Г.Сеге, Задачи и теоремы из анализа. Часть 1, Часть 2, 1978.
И. Шведов, Компактный курс математического анализа. Часть 1. Функции одной переменной, Часть 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных, 2003.

Наиболее известные учебники математического анализа:

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах)
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа (в двух частях)
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в трёх томах)
Зорич В.А. Математический анализ (в двух частях)