Funktion (matematik)

Wikipedia

Ordet funktion syftar inom matematiken ofta på en regel som innebär till ett invärde associeras ett utvärde, ofta beräknat med en matematisk formel. En mycket viktig egenskap hos funktioner är att de är deterministiska (det vill säga konsekventa, så att varje invärde alltid ger samma utvärde). Detta gör att funktionen kan ses som en mekanism, en maskin, som systematiskt levererar rätt utvärde så fort man stoppar in ett invärde. I tekniska sammanhang brukar invärdet kallas ’’argument’’ och utvärdet för ’’värdet’’.

[redigera] Intuitiv introduktion

En funktion är en regel eller procedur som tillordnar ett utvärde för varje givet invärde. Följande är exempel på funktioner:

I en grupp människor har varje person en favoritfärg bland färgerna röd, orange, gul, grön, blå, indigo och violett. Invärdet till funktionen är i detta fall en person, och utvärdet är en av de sju färgerna. Favoritfärgen är en funktion av person till färg. Johan kan till exempel ha favoritfärgen röd, medan Kent har favoritfärgen violett. Det är fullt möjligt för två personer att ha samma favoritfärg. Det kan till exempel vara så att både Anna och Johan tycker om rött.

En sten som släpps från olika våningsplan i en hög byggnad får olika falltid. Det kan till exempel ta 2 sekunder att falla från den 2:a våningen och 4 sekunder från den 8:e. Här är våningsplansnumret invärde och utvärdet är den tid som det tar för stenen att nå fram till markplanet.

[redigera] En formell definition

Låt A och B vara två mängder, där ingen av dem är tom. En funktion f från A till B är en relation från A till B som defininerar exakt ett element i B till varje element i A, vilket formellt skrivs f:A → B.

Normalt skriver man dock f(a)=b där b är det unika elementet i B som f tillordnar elementet a i A. Om det finns minst ett element a för varje element b kallas funktionen surjektiv. Om det för varje element b finns som mest ett element a kallas funktionen injektiv. En funktion som är både injektiv och surjektiv – det vill säga det finns ett och endast ett element a för varje element b – kallas bijektiv. Bijektiva funktioner är intressanta då de har en invers.

En typ av funktion som ofta diskuteras har matematiska tal både som invärde och som utvärde och fungerar så att utvärdet uttrycks som en formel där (det obestämda) invärdet ingår. Utvärdet beräknas då genom att man först ersätter symbolen för invärdet med ett visst invärde som man är intresserad av. Därefter kan man beräkna ett utvärde för detta invärde genom att räkna ut värdet av den formel som nu innehåller endast kända matematiska tal.

Tänk till exempel på formeln

f (x) = x 2

som för varje tal x tillordnar detta tal ett associerat värde, x i kvadrat.

En naturlig generalisering är att låta funktionen bero av flera invärden. Som exempel är

g (x, y) = x y

en funktion som tar två värden, x och y, och tillordnar dem ett utvärde som är produkten av dem, x . y. Man kan kanske tycka att den här regeln inte stämmer på beskrivningen ovan, eftersom den kräver två invärden. Dock är det fullt möjligt att se varje sådant par av värden som ett enda värde, i vid bemärkelse. Sådana värden kallas ordnade par, (x, y).

I naturvetenskap stöter man ofta på funktioner som inte kan definieras med hjälp av en känd formel. (Det vill säga att man inte känner till någon formel, även om det kanske finns en.) Ett exempel på detta är jordytans temperatur över tiden. Det är en funktion som har plats (två koordinater) och tid som invärde och ger ett utvärde som är en temperatur.

Det intuitiva funktionsbegreppet är alltså inte begränsat till beräkningar från enstaka tal och inte ens begränsat till beräkningar. Det matematiska funktionsbegreppet är ännu mer generellt (obegränsat) och inte alls begränsat till att handla om matematiska tal. Detta gör att funktionsbegreppet är en grundsten in nästan varje gren av matematiken och naturvetenskapen.