Теорема Больцано — Вейерштрасса
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теоре́ма Больца́но — Вейерштра́сса гласит, что
|
Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. |
Теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных чисел. Она также справедлива для последовательностей точек n-мерного евклидова пространства.
[править] Доказательство
Ниже приведён набросок доказательства для вещественной прямой:
- Так как последовательность ограничена, то существует отрезок, содержащий все an.
- Разделим его пополам. Выберем тот, который содержит бесконечное число членов последовательности. Если оба содержат бесконечное число членов последовательности, то выберем один из них.
- Продолжим деление отрезков по индукции.
- Получим последовательность вложенных отрезков, которая по построению стягивающаяся, следовательно, имеет одну общую точку.
- Далее построим подпоследовательность, чтобы k-й элемент содержался в отрезке определённом на k-ом шаге. Так как в любом таком отрезке содержится бесконечное число an, это возможно.
- Полученная подпоследовательность имеет предел.
[править] История
Эта теорема доказана чешским математиком Больцано в 1817, позже она была независимо получена Вейерштрассом.
