Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
Z Wikipedii
Twierdzenie Bolzano–Weierstrassa jest jednym z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym języku oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte.
Twierdzenie to było najpierw udowodnione przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzano, ale jego praca pozostała niezauważona. Twierdzenie było później ponownie odkryte i udowodnione przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa.
Spis treści |
[edytuj] Twierdzenie
[edytuj] Sformułowanie
Przypuśćmy, że jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych (a więc dla pewnych a < b mamy że a < cn < b dla każdego n). Wówczas można wybrać rosnący ciąg indeksów tak, że ciąg jest zbieżny.
[edytuj] Dowód
Przypuśćmy, że jest ciągiem liczb rzeczywistych, a < b oraz a < cn < b dla wszystkich n. Indukcyjnie wybieramy liczby oraz liczby naturalne nk, tak że dla każdego k mamy
- n0 = 0, a0 = a, b0 = b,
- nk < nk + 1, ,
- ,
- zbiór jest nieskończony.
Pierwszy warunek powyżej definiuje n0,a0,b0. Przypuśćmy że wybraliśmy już nk,ak,bk tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech . Jeśli zbiór jest nieskończony, to połóżmy ak + 1 = ak, bk + 1 = d i wybierzmy nk + 1 > nk tak że . Jeśli zbiór jest skończony, to wtedy zbiór musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy że ak + 1 = d, bk + 1 = bk i wybieramy nk + 1 > nk tak że .
Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy że ciąg jest ciągiem Cauchy'ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.
[edytuj] Wniosek: twierdzenie Weierstrassa
Prawie bezpośrednio z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika następujące twierdzenie, nazywane często twierdzeniem Weierstrassa.
[edytuj] Sformułowanie
Jeśli jest funkcją ciągłą, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja f osiąga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb mamy
- .
[edytuj] Dowód
Aby udowodnić ograniczoność obrazu przeprowadźmy rozumowanie nie wprost: jeżeli obraz funkcji f nie ma ograniczenia górnego, to możemy znaleźć ciąg taki, że dla każdego n. Tak więc wówczas
- (*) .
Niech będzie zbieżnym podciągiem ciągu i niech . Ponieważ odcinek domknięty [a,b] zawiera wszystkie swoje punkty skupienia, to wiemy że . Następnie, z ciągłości funkcji f mamy , ale ciąg jako podciąg ciągu rozbieżnego do (przypomnijmy (*)) nie może być zbieżny do f(c). Uzyskana sprzeczność pokazuje że nasze przypuszczenie było fałszywe, czyli f posiada ograniczenie górne.
Oznaczmy kres górny obrazu f przez d, mamy więc . Możemy wtedy znaleźć taki ciąg , że dla każdego n. Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wiemy, iż istnieje podciąg zbieżny , którego granicę oznaczymy przez c. Wtedy wykorzystując ponownie własność ciągłości funkcji f otrzymujemy . A więc wartość funkcji f w punkcie jest kresem górnym obrazu f (a więc także dla wszystkich ).
Analogicznie dowodzimy ograniczoności obrazu funkcji z dołu i znajdujemy taką liczbę , że .
[edytuj] Uwaga
Założenie zwartości (domkniętości i ograniczoności) dziedziny funkcji (odcinka [a,b]) jest istotne. Na przykład funkcja jest ciągła ale nie jest ograniczona. Podobnie nie jest ograniczona, mimo, że dziedzina - cała prosta - jest domknięta.
[edytuj] Wnioski
Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika twierdzenie Heinego-Borela: podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony.