Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa - Wikipedia, wolna encyklopedia

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Z Wikipedii

Twierdzenie Bolzano–Weierstrassa jest jednym z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym języku oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte.

Twierdzenie to było najpierw udowodnione przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzano, ale jego praca pozostała niezauważona. Twierdzenie było później ponownie odkryte i udowodnione przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa.

Spis treści

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Sformułowanie

Przypuśćmy, że (c_n)_{n=0}^\infty jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych (a więc dla pewnych a < b mamy że a < cn < b dla każdego n). Wówczas można wybrać rosnący ciąg indeksów n_0,n_1,n_2,n_3,\ldots tak, że ciąg \big(c_{n_k}\big)_{k=0}^\infty jest zbieżny.

[edytuj] Dowód

Przypuśćmy, że (c_n)_{n=0}^\infty jest ciągiem liczb rzeczywistych, a < b oraz a < cn < b dla wszystkich n. Indukcyjnie wybieramy liczby a_k,b_k\in [a,b] oraz liczby naturalne nk, tak że dla każdego k mamy

  • n0 = 0, a0 = a, b0 = b,
  • nk < nk + 1, a_k\leq a_{k+1}\leq c_{n_{k+1}}\leq b_{k+1}\leq b_k,
  • b_k-a_k=(b-a)\cdot 2^{-k},
  • zbiór \{n:c_n\in [a_k,b_k]\} jest nieskończony.

Pierwszy warunek powyżej definiuje n0,a0,b0. Przypuśćmy że wybraliśmy już nk,ak,bk tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech d=\frac{a_k+b_k}{2}. Jeśli zbiór \{n:c_n\in [a_k,d]\} jest nieskończony, to połóżmy ak + 1 = ak, bk + 1 = d i wybierzmy nk + 1 > nk tak że a_{k+1}\leq c_{n_{k+1}}\leq b_{k+1}. Jeśli zbiór \{n:c_n\in [a_k,d]\} jest skończony, to wtedy zbiór \{n:c_n\in [d,b_k]\} musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy że ak + 1 = d, bk + 1 = bk i wybieramy nk + 1 > nk tak że a_{k+1}\leq c_{n_{k+1}}\leq b_{k+1}.

Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy że ciąg \big(c_{n_k}\big)_{k=0}^\infty jest ciągiem Cauchy'ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.

[edytuj] Wniosek: twierdzenie Weierstrassa

Prawie bezpośrednio z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika następujące twierdzenie, nazywane często twierdzeniem Weierstrassa.

[edytuj] Sformułowanie

Jeśli f: [a,b] \to \mathbb R jest funkcją ciągłą, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja f osiąga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb c,d\in [a,b] mamy

\forall x \in [a,b]\quad f(d) \le f(x) \le f(c).

[edytuj] Dowód

Aby udowodnić ograniczoność obrazu przeprowadźmy rozumowanie nie wprost: jeżeli obraz funkcji f nie ma ograniczenia górnego, to możemy znaleźć ciąg (c_n)_{n=0}^\infty taki, że f(c_n) \ge n dla każdego n. Tak więc wówczas

(*) \lim\limits_{n\to\infty} f(c_n)=\infty.

Niech (c_{n_k})_{k=0}^\infty będzie zbieżnym podciągiem ciągu (c_n)_{n=0}^\infty i niech \lim_{k\to \infty} c_{n_k} = c. Ponieważ odcinek domknięty [a,b] zawiera wszystkie swoje punkty skupienia, to wiemy że c\in [a,b]. Następnie, z ciągłości funkcji f mamy f(c) = \lim_{k\to \infty} f(c_{n_k}), ale ciąg \left(f(c_{n_k})\right)_{k=0}^\infty jako podciąg ciągu rozbieżnego do \infty (przypomnijmy (*)) nie może być zbieżny do f(c). Uzyskana sprzeczność pokazuje że nasze przypuszczenie było fałszywe, czyli f posiada ograniczenie górne.

Oznaczmy kres górny obrazu f przez d, mamy więc d = \sup \left\{ f(x): x \in [a,b] \right\} < \infty. Możemy wtedy znaleźć taki ciąg (c_n)_{n=0}^\infty, że d - {1 \over n} \le f(c_n) \le d dla każdego n. Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wiemy, iż istnieje podciąg zbieżny (c_{n_k})_{k=0}^\infty, którego granicę \lim_{k\to \infty} c_{n_k} \in [a,b] oznaczymy przez c. Wtedy wykorzystując ponownie własność ciągłości funkcji f otrzymujemy f(c) = \lim_{k \to \infty} f(c_{n_k}) = d. A więc wartość funkcji f w punkcie c\in [a,b] jest kresem górnym obrazu f (a więc także f(x)\leq f(c) dla wszystkich x\in [a,b]).

Analogicznie dowodzimy ograniczoności obrazu funkcji z dołu i znajdujemy taką liczbę d\in [a,b], że f(d) =\sup \left\{f(x): x\in [a,b]\right\}.

[edytuj] Uwaga

Założenie zwartości (domkniętości i ograniczoności) dziedziny funkcji (odcinka [a,b]) jest istotne. Na przykład funkcja f: (0,1]\ni x \mapsto 1/x \in\mathbb{R} jest ciągła ale nie jest ograniczona. Podobnie f: \mathbb{R}\ni x \mapsto e^x\in \mathbb{R} nie jest ograniczona, mimo, że dziedzina - cała prosta - jest domknięta.

[edytuj] Wnioski

Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika twierdzenie Heinego-Borela: podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony.

[edytuj] Zobacz też

THIS WEB:

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - be - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - closed_zh_tw - co - cr - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - haw - he - hi - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - ms - mt - mus - my - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - ru_sib - rw - sa - sc - scn - sco - sd - se - searchcom - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sq - sr - ss - st - su - sv - sw - ta - te - test - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tokipona - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Static Wikipedia 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007:

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - be - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - closed_zh_tw - co - cr - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - haw - he - hi - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - ms - mt - mus - my - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - ru_sib - rw - sa - sc - scn - sco - sd - se - searchcom - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sq - sr - ss - st - su - sv - sw - ta - te - test - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tokipona - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Static Wikipedia 2006:

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - be - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - closed_zh_tw - co - cr - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - haw - he - hi - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - ms - mt - mus - my - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - ru_sib - rw - sa - sc - scn - sco - sd - se - searchcom - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sq - sr - ss - st - su - sv - sw - ta - te - test - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tokipona - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu