Случайный процесс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Случа́йный проце́сс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или пространства.

Содержание

1 Определение
2 Терминология
3 Замечание
4 Примеры

[править] Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$ . Параметризованное семейство $\{X_t\}_{t\in T}$ случайных величин

$X_t(\cdot) : \Omega \to \mathbb{R},\quad t \in T$ ,

где $T$ произвольное множество, называется случайной функцией.

[править] Терминология

Если $T \subset \mathbb{R}$ , то параметр $t \in T$ может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция ${X t}$ называется случайным процессом. Если множество $T$ дискретно, например $T \subset \mathbb{N}$ , то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

Если $T \subset \mathbb{R}^n$ , где $n \ge 1$ , то параметр $t \in T$ может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности термин случайный процесс часто используется как безусловный синоним термина случайная функция.

[править] Замечание

Пусть дан случайный процесс $\{X_t\}_{t \in T}$ . Тогда для каждого фиксированного $t\in T$ $X t$ — случайная величина. Если фиксирован элементарный исход $\omega \in \Omega$ , то $X_t:T \to \mathbb{R}$ — детерминистическая функция параметра $t$ . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции ${X t}$ .

[править] Примеры

$\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ , где $X i ˜N(0,1)$ называется гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
Пусть $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , и $Y$ — случайная величина. Тогда