Обратная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Обра́тная функция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

[править] Определение

Пусть дано биективное отображение $F: X \to Y$ . Тогда по определению биекции для каждого $y \in Y$ существует в точности один $x \in X$ , такой что $F (x) = y$ . Таким образом построена функция $y\in Y \mapsto x\in X$ . Эта функция называется обратной к $F$ и обозначается $F - 1$ .

[править] Замечания

Областью определения $F - 1$ является множество $Y$ , а областью значений множество $X$ .
По построению имеем:

$y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)$

или

$F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y$ ,

$F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X$ ,

или короче

$F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y$ ,

$F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X$ ,

где $\circ$ означает композицию функций, а $id X,id Y$ - тождественные отображения на $X$ и $Y$ соответственно.

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $y = F (x)$ относительно $x$ .
Функция $F$ является обратной к $F - 1$ :

$\left(F^{-1}\right)^{-1} = F$ .

Пусть $F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}$ - биекция. Пусть $F^{-1}:Y \to X$ её обратная функция. Тогда графики функций $y = F (x)$ и $y = F - 1 (x)$ симметричны относительно прямой $y = x$ .

[править] Примеры

Если $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = e^x$ , то $F - 1 (x) = ln x$ .
Если $F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}$ , где $a,b\in \mathbb{R}$ фиксированные постоянные, то $F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$ .